WisFaq!

Ln primitiveren

Hallo,

Ik zit in 6 VWO en heb Wiskunde B, en kom er niet helemaal uit hoe je ln nou precies moet primitiveren, de primitieve van ln is x·ln(x)-x, maar moet je bij x de hele functie invullen, bij ln(x-4) bedoel ik dan bij x x-4 invullen, of alleen x? In mijn uitwerkingen lijkt dit steeds anders te zijn.

f(x)= ln(4x-1) geeft F(x)= (4x-1)ln|4x-1|-(4x-1) +c
maar f(x)= ln(x√x) geeft F(x)= x√xln|x|-(x√x) + c

Wanneer moet je bij de x tussen de | | de hele functie (wat ik bovenaan zei) en wanneer de x laten staan?

Alvast heel erg bedankt

Valérie Vermaas
6-10-2011

Antwoord

De primitieve van f(x) = ln(x) is inderdaad gelijk aan F(x) = x.ln(x) - x
De snelste manier om dit 'aan te tonen' is om deze F te differentiëren en te constateren dat er dan inderdaad weer f uitkomt.

De vergissing die je nu maakt, is te denken dat als die eenvoudige x in f(x) = ln(x) vervangen wordt door iets ingewikkelders, je in de standaardprimitieve F alle x-en ook door dat ingewikkeldere dient te vervangen.

Helaas is het niet zo'n feest!

Zo schrijf je dat de primitieve van f(x) = ln(4x-1) dan wel
F(x) = (4x-1).ln|4x-1| - (4x-1) zal moeten zijn. Als je deze F echter differentieert, dan zul je zien dat het nét niet klopt. Je krijgt niet helemaal de oude f terug. Het geluk in dit geval is nu dat het slechts een constant getal scheelt en dat kun je dan wel in orde krijgen door er een geschikte breuk voor te zetten.

Maar bij f(x) = ln(x√(x)) gaat wat jij probeert echt helemaal mis. Differentieer je primitieve maar en je zult overtuigd worden.

Wat wel werkt is: schrijf eerst f(x) = ln(x^1,5) = 1,5.ln(x) en dan zit je ineens weer in de standaardfuncties.
De oorzaak van het misgaan van wat jij dacht is overigens gelegen in de kettingregel.

En wat die absoluutstreepjes betreft: je moet ze er bij logaritmen eigenlijk altijd omheen zetten. Ze kunnen hoogstens een keertje overbodig blijken te zijn, maar dat is iets anders dan fout.

MBL
6-10-2011