WisFaq!

Inhoud afgesneden stuk van een kegel

Is er een formule waarmee de inhoud berekend kan worden van het deel van een kegel, begrensd door een vlak door de kegel, niet evenwijdig aan de as, maar scheef door het grondvlak? Ik kan me voorstellen dat daar de maten van de kegel, de tophoek, de afstand tot het middelpunt van het grondvlak en de hoek van het vlak met het grondvlak in voorkomen.

Fokke Zwaan
29-9-2011

Antwoord

Ik neem aan dat u een kegel bedoelt waarvan de richtkromme een cirkel is, en waarbij de as gaat door de top en door het middelpunt van de cirkel en loodrecht staat op het vlak van de cirkel.
Stel dat de kegel in de x,y,z-ruimte ligt, top in (0,0,0) heeft, en als as de z-as heeft.

Men kan het x,y-vlak zover draaien om de z-as dat het vlak waarmee u de kegel gaat snijden evenwijdig is aan de y-as.
De vergelijking van dit vlak van u heeft dan de vorm z = cx+d (en y willekeurig).
Na eventuele herorientatie van de assen zijn c en d positief.
De hoek die uw vlak maakt met het vlak van de cirkel (en met het grondvlak) is $\beta$ = arctan(c).
De afstand van uw vlak tot de top is A = d/√(1+c²).

Stel dat de snijcirkel van de kegel met het vlak z=1 straal r heeft, zodat voor tophoek geldt 90°-$\alpha$ = arctan(r).
De vergelijking van de kegel is dan r²z² = x²+y².

Nu moeten we nog de inhoud uitrekenen van het lichaam begrensd door de kegel en uw vlak.
Dit kan overigens alleen indien de snijkromme van uw vlak met de kegel een ellips is, dus als $\beta$ kleiner dan 90-$\alpha$ is.
In eerste instantie drukken we deze inhoud uit in r, c en d. Via bovenstaande omrekenformules kunnen we die desgewenst ook uitdrukken in $\alpha$, $\beta$ en A.

De projectie op het x,y-vlak van de ellips volgens welke de kegel uw vlak snijdt is de kromme in het x,y-vlak met vergelijking
r²(cx+d)² = x²+y².
Voor de punten in het lichaam waarvan we de inhoud moeten uitrekenen geldt dus
-d/(1+rc) $\leq$ x $\leq$ d/(1-rc) en
-√(r²(cx+d)² - x²) $\leq$ y $\leq$√(r²(cx+d)² - x²)
en (1/r)·√(x²+y²⁾ $\leq$ z $\leq$ cx+d.
Deze inhoud kunnen we dus uitrekenen door de bijbehorende integraal uit te rekenen.

Ik moet het hier nu bij laten. Het uitrekenen van de integraal kan nog ingewikkeld zijn.
Ik vind de uitkomst ook niet meteen op het internet.

hr
7-10-2011