WisFaq!

homothetie en verschuiving

Deze vraag bestaat uit 2 delen :

a) We beschouwen twee verschillende punten a en b. We noemen h1 en h2 de homothetieen met centra a en b en dezelfde factor k. We noemen v de verschuiving overeenstemmend met de vector (1-k)ab .
Bewijs : h(b,k)= v 'na' h(a,k)

b) We beschouwen twee homothetieen h(a,k1) en h(b,k2) . Bewijs dat voor k1.k2 = 1 de samengestelde een verschuiving is en voor k1.k2 ��1 een samengestelde homothetie h(c,k1.k2)
Bewijs voor dit laatste geval voor het centrum c dat 'vector'ac = (1-k2)'vector'ab / 1-k1k2

Ik weet bij geen van beide onderdelen hoe eraan te beginnen.Kunnen jullie raad geven ?

berten
12-1-2003

Antwoord

Hoi,

Dit is een staaltje vectorrekenen...
Met de notatie uv bedoelen we vector uv (met pijltje erboven). Bedenk dat uv=v-u.

Deel (a):
h(a,k) beeldt x af op y zodat ay=k.ax. Dus: y-a=k.(x-a) of h(a,k)(x)=a+k.(x-a). En ook: h(b,k)(x)=b+k.(x-b).
We hebben dus: h(b,k)(x)-h(a,k)(x)=b+k.(x-b)-a-k.(x-a)=b-a-k.(b-a)=(1-k).(b-a)=(1-k).ab. Voor elke x hebben we dus: h(b,k)(x)=h(a,k)(x)+(1-k).ab. Dit betekent: h(b,k)=v o h(a,k).

Deel (b):
h(a,k₁)(x)=a+k₁.(x-a) en h(b,k₂)(x)=b+k₂.(x-b)

Zodat voor f = h(b,k₂) o h(a,k₁):
f(x)= b+k₂.(a+k₁.(x-a)-b)= (1-k₂)b+k₂.(1-k₁).a+k₁k₂.x

Voor k₁k₂=1 is f(x)=d+x met d=(1-k₂)b+k₂.(1-k₁).a. f stelt dus een verschuiving voor van x over d.

Voor k₁k₂�1, proberen we f(x) te schrijven als c+k₁k₂.(x-c). Je rekent na c=d/(1-k₁k₂) voldoet. f is dan dus een homothetie met centrum c en factor k₁k₂.
We moeten nog aantonen dat ac=(1-k₂).ab/(1-k₁k₂) of dat
(1-k₁k₂).(c-a)=(1-k₂).(b-a)
of dat d=(1-k₁k₂).a+(1-k₂).(b-a). Je gaat na dat we d inderdaad zo gedefinieerd hebben. Hiermee is deel (b) ook bewezen.

Groetjes,
Johan

andros
13-1-2003