WisFaq!

Bepaal primitieve

f(x) = sin x · cos x

Hoe los je dit op ?

Marcel
31-8-2011

Antwoord

Beste Marcel,

Om $\int \sin(x) \cdot \cos(x) dx$ te bepalen, kun je het beste gebruikmaken van de zogeheten substitutiemethode.
Je bekijkt de 2 functies en vraagt je af of je de afgeleide van één van de functies 'iets' te maken heeft met de andere functie. Zodat je de oorspronkelijke functie vereenvoudigt (door een van de functies te vervangen (= substitueren, vandaar de naam) door een variabele en de afgeleide van die variabele) en de primitieve dus eenvoudiger kunt bepalen.

In dit geval weet je dat (sin(x))' = cos(x).
Dus als je sin(x) gelijkstelt aan u(x), dan is $\frac{du}{dx} = \cos(x)$ oftewel $du = \cos(x) dx$.

De oorspronkelijke integraal $\int$ sin(x)·cos(x) dx is nu dus $\int$ u du geworden. Hiervan weet je dat de primitieve $\frac{1}{2}u^{2} + c$ is.
Nu rest alleen nog u te vervangen door de oorspronkelijke functie, te weten $u(x) = \sin(x)$, dus de primitieve luidt $\frac{1}{2}(\sin(x))^{2} + c$.

Mocht er nog iets onduidelijk zijn, reageer gerust!

Davy
31-8-2011