Stel dat je het functievoorschrift van de onderstaande vierdegraadsfunctie wil bepalen.
Indien we het functievoorschrift van een lineaire functie moesten bepalen, moesten we de coördinaten van 2 punten op de grafiek (zijnde de rechte) weten.
Indien het functievoorschrift van een parabool moest worden opgesteld, had je 3 punten nodig.
Blijkbaar heb je telkens één punt meer nodig dan de graad van de functie om het functievoorschrift te kunnen bepalen.
We hebben dus 5 punten nodig op de plot van de vierdegraadsfunctie.
Een kwestie van nauwkeurig aflezen, de coördinaten van 5 willekeurige punten op de grafiek zijn (-2,-1), (-1,-4), (0,1), (1,8) en (2,59).
Je weet waarschijnlijk wel dat het algemene functievoorschrift van een vierdegraadsfunctie $f(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$ luidt?
Nu is het een kwestie van de bijbehorende x-waarden in de vergelijking in te vullen en dit gelijkstellen aan de y-waarde. Dit levert een stelsel op van 5 vergelijkingen en ook 5 onbekenden, hetgeen een eenduidig antwoord zou moeten opleveren.
Het stelsel luidt:
$\cases {
f(-2) = -1 \cr
f(-1) = -4 \cr
f(0) = 1 \cr
f(1) = 8 \cr
f(2) = 59
} $
$\cases {
a \cdot (-2)^{4} + b \cdot (-2)^{3} + c \cdot (-2)^{2} + d \cdot (-2) + e = -1 \cr
a \cdot (-1)^{4} + b \cdot (-1)^{3} + c \cdot (-1)^{2} + d \cdot (-1) + e = -4 \cr
a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{3} + c \cdot 0^{2} + d \cdot 0 + e = 1 \cr
a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{3} + c \cdot 1^{2} + d \cdot 1 + e = 8 \cr
a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{3} + c \cdot 2^{2} + d \cdot 2 + e = 59
} $
$\cases {
16a - 8b + 4c -2d + e = -1 \cr
a - b+ c - d + e = -4 \cr
e = 1 \cr
a + b + c + d + e = 8 \cr
16a + 8b + 4c + 2d + e = 59
} $
Indien we overal $e = 1$ vervangen en naar het rechterlid brengen, staat er
$\cases {
16a - 8b + 4c -2d = -2 \cr
a - b+ c - d = -5 \cr
a + b + c + d = 7 \cr
16a + 8b + 4c + 2d = 58
} $
Er zijn verschillende methodes om dit stelsel verder op te lossen: je kunt vegen, je kunt herhaalde substitutie toepassen of je kunt m.b.v. matrices gaan rekenen. Ik zal de laatste strategie toelichten.
Herschrijf de linkerleden van het stelsel als een matrix-vermenigvuldiging en het rechterlid als een matrix bestaande uit een kolom en 4 rijen.
Dan staat er
$ \pmatrix{ 16 & -8 & 4 & -2 \cr 1 & -1 & 1 & -1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 \cr 16 & 8 & 4 & 2 } \cdot \pmatrix{ a \cr b \cr c \cr d } = \pmatrix{-2 \cr -5 \cr 7 \cr 58}$
Dan is $ \pmatrix{a \cr b \cr c \cr d} = \left (\pmatrix{ 16 & -8 & 4 & -2 \cr 1 & -1 & 1 & -1 \cr 1 & 1 & 1 & 1 \cr 16 & 8 & 4 & 2 }\right )^{-1} \cdot \pmatrix{-2 \cr -5 \cr 7 \cr 58}$.
Ik weet niet of je bekend bent met het vinden van de inverse matrix, zo nee, reageer dan even. De inverse matrix is
.Dus $\pmatrix{ a \cr b \cr c \cr d} = \pmatrix{ 2 \cr 3 \cr -1 \cr 3}$.
Dit had je overigens ook m.b.v. de regel van Cramer kunnen vinden (zie bijvoorbeeld Wikipedia).
En we wisten al dat $e = 1$, dus de vergelijking van de vierdegraadsfunctie is $f(x) = 2x^{4} + 3x^{3} - x^{2} + 3x + 1$.
Mocht je nog vragen hebben, laat het weten!
Davy
31-8-2011