WisFaq!

Convergentie van een reeks

Gegeven is de reeks SIGMA((-1)ⁿ⁺¹ · n · x^(2n+1)).
Gevraagd is het convergentiegebied te bepalen van deze reeks. Volgens Maple:
$>$ s:=x$\to$sum((-1)^(i+1)·i·x^(2·i+1),i=1..infinity);
$>$ plot(s(x),x=-10..10);
is deze reeks convergent.

Hoe lossen we dit formeel op? Met de voorwaarde van Leibniz voor convergentie van wisselreeksen komen we nergens om het convergentiegebied te bepalen.
Via de test van d'Alembert kunnen we alleen uitspraak doen over de absolute convergentie van de reeks (ik vind hier ]-1,1[ wat klopt).
Hoe kunnen we nu de 'gewone' convergentie over gans R bewijzen?

Koen
11-1-2003

Antwoord

Hoi,

Volgens mij is de reeks enkel binnen ]-1,1[ convergent. Je kan dit bewijzen door bv de partieelsommen uit te rekenen.

Je reeks is
R_n(x)=x³.S_n(x²)

waarbij
S_n(t)=
1-2t+3t²-4t³+..+(-1)ⁿ⁺¹.n.t^n-1=
d/dt(t-t²+t³-t⁴+...(-1)ⁿ⁺¹.tⁿ)
=d/dt[(1-(-t)ⁿ⁺¹)/(1+t)]
=...
Hiermee heb je dus een gesloten uitdrukking voor S_n(t) en dus ook voor R_n(x). Je rekent na dat lim(R_n(x),x$\to\infty$) enkel bestaat voor |x|<1. Of anders gezegd: de reeks is enkel convergent voor |x|<1.

Je kan de convergentie van R_n(x) ook bewijzen op basis van de absolute convergentie van S_n(t). Dan gebruik je inderdaad d'Alembert en moet je de partieelsommen niet uitwerken...

Groetjes,
Johan

andros
13-1-2003