WisFaq!

Vergelijking

Ik moet de snijpunten van een cirkel en een parabool berekenen, door de grafieken te tekenen weet ik de sijpunten al maar wil het stelsel ook oplossen zonder gebruik te maken van de grafieken. De vergelijkingen zijn:
x^2 + y^2 = 25 en y = (x - 3)^2 -4. Ik ben tot hier gekomen
x^2 + ((x - 3 )^2 - 4)^2 = 25 dit is weer gelijk aan

x^2 +(x - 3)^4 + 16 = 25 en dit is weer gelijk aan

x^2 + (x - 3)^4 - 9 = 0. verder als dit kom ik niet.

wouter
10-1-2003

Antwoord

Beste Wouter,
Altijd fijn om te zien dat mensen nog steeds grafieken gebruiken als hulpmiddel, maar bewust zijn dat dit altijd een benadering geeft.
Je begin is helaas reeds verkeerd. Op zich is de gedachte om y in te vullen goed, maar ((x-3)^2-4)^2 is niet hetzelfde als (x-3)^4+16. Algemeen geldt niet (a+b)^c = a^c+b^c.
Neem maar bijvoorbeeld: (2+3)^2 = 5^2 = 25, maar niet aan 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13.

Goed, laten we eerst (x-3)^2-4 voluit schrijven:
(x-3)^2-4 = x^2-6x+5
Nu dit invullen geeft:
x^2+(x^2-6x+5)^2 = 25
Dit opnieuw uitwerken zal geven:
x^4-12x^3+47x^2-60x=0
We kunnen alvast 1 term (x) eruit halen:
x(x^3-12x^2+47x-60)=0
En dus:
x = 0 of x^3-12x^2+47x-60 = 0
We hebben dus reeds 1 gevonden. Het probleem is de derdegraads vergelijking.
Ik weet niet wat je niveau is, er is een algemene formule hiervoor, maar of je die kent is een vraag.
Het antwoord zal zijn x = 3, x = 4 en/of x = 5

Je zou het ook nog andersom kunnen doen:
Vul bijvoorbeeld voor y in de tweede formule: y=(25-x^2).
Of bijvoorbeeld voor x in de tweede formule: x=(25-x^2)

Hopelijk heeft dit geholpen.

M.v.g.

PHS
10-1-2003