WisFaq!

Re: Verschil van twee kwadraten

In het bewijs wordt gekeken naar het verschil van twee opeenvolgende kwadraten. Maar wat nu als de kwadraten niet opeenvolgende zijn. Kun je dan bewijzen dat de uitkomst even of oneven moet zijn?

Arjan
4-6-2011

Antwoord

Eh, ja, natuurlijk. Elk getal is immers even of oneven...

Wat interessanter is, is dat je kunt bewijzen dat het verschil van twee willekeurige kwadraten ofwel oneven is, ofwel een veelvoud van 4. Dat staat ook in het eerdere antwoord. Daar kijken we naar a²-b²=(a-b)(a+b).
Er kunnen zich nu verschillende situaties voordoen:

• a en b zijn beide even. Dan zijn a+b en a-b dat ook en is dus hun product een viervoud, en dus is dan a²-b² een viervoud.
  
• a en b zijn beide oneven. Dan zijn a+b en a-b ook even en is net als hiervoor a²-b² een viervoud
  
• Van de getallen a en b is er een even en een oneven. Dan zijn a+b en a-b oneven, hun product ook en dus a²-b² ook.
  

Hopelijk duidelijk genoeg.

Groet, FvL

FvL
4-6-2011