WisFaq!

Vraagstukken met tweedegraads ongelijkheden

Hoe los ik deze vraagstukken op?

1. de som van de helft van een natuurlijk getal en het kwadraat van datzelfde natuurlijk getal is groter dan 2004; geef alle natuurlijke oplossingen
   
   
2. het product van twee opeenvolgende negatieve gehele getallen is niet kleiner dan 15; geef alle negatieve gehele oplossingen (tip: neem x en x+1 als opeenvolgende getallen)
   
   
3. het drievoud van een natuurlijk getal is kleiner dan de som van dat getal en het getal 13; geef alle natuurlijke oplossingen
   
   
4. het dubbel van het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is niet groter dan 2005; geef alle natuurlijke oplossingen
   

Alvast bedankt voor de moeite!

Miguel
7-1-2003

Antwoord

Dat zijn heel wat vragen. Ik neem aan dat je moeite hebt om een vergelijking op te stellen. Ik zal van alle vraagstukken een beginnetje geven dan is er voor jezelf ook nog iets om op te lossen.

In de vragen noem ik het natuurlijke getal x.

1. de helft van het natuurlijke getal is ¹/₂x
   het kwadraat is x²;
   Dus de som is ¹/₂x + x² > 2004
   Laten we eerst maar eens kijken wanneer
   ¹/₂x + x² = 2004
   x²+ ¹/₂x - 2004 = 0
   Dit kun je oplossen met de ABC-formule.
   Als je dan een niet natuurlijke x vindt, zul je voor het kleinste natuurlijke getal waarvoor de ongelijkheid geldt, het gevonden getal naar boven af moeten ronden. Daarna is het niet zo moeilijk om na te gaan welke natuurlijke getallen nog meer voldoen.
   
   
2. Als we twee negatieve getallen vermenigvuldigen dan krijgen we weer een positief getal. Noem het ene negatieve getal x en het andere x+1. Dan zijn we dus op zoek naar negatieve gehele x waarvoor geldt dat x·(x+1) $\geq$ 15.
   (x is natturlijk niet -1 want dan is x+1 niet meer negatief)
   Weer kunnen we eerste eens naar de gelijkheid kijken:
   x²+ x = 15
   Als je deze hebt opgelost is het niet zo moeilijk om de hele verzameling oplossingen te vinden.
   
   
3. hier wordt gevraagd: 3x < x+ 13
   oftewel
   2x < 13
   Kijken we naar de gelijkheid dan vinden we dat
   2x = 13 en x = 6.5
   De oplossing is dus de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6
   
   
4. Ik neem aan dat je hier het dubbele bedoeld.
   dus de twee opeeenvolgende getallen noem ik weer x en x+1.
   Dus:
   2·x·(x+1)$\leq$2005
   En dit kun je weer op dezelfde manier oplossen.
   

Let er wel op dat er een verschil is tussen $<$ en $\leq$

Veel succes en als je er toch niet uit komt, kun je natuurlijk hier altijd weer een vraag stellen. Veel succes!

gm
9-1-2003