WisFaq!

Directe formule

Goedenavond,
Kunt u mij helpen bij het volgende probleem?
Een autoverhuurbedrijf heeft vestigingen in A'dam en R'dam. Op tijdstip 0 zijn er 250 auto's in de vestiging in A'dam en 50 in R'dam. Onderzoek wijst uit dat 10% van de auto's uit A'dam na een maand in R'dam terechtkomt. Omgekeerd is 20% van de auto's uit R'dam in A'dam afgeleverd. A(t) is het aantal auto's in A'dam op tijdstip t en R(t) het aantal auto's in de vestiging in R'dam op tijdstip t.
Er geldt: A(t) = a.A(t-1) + b.R(t-1)
R(t) = c.A(t-1) + d.R(t-1)
a. Geef de getallen a, b,c en d.
Volgens mij zijn: a=0,9 b = 0,2 c=0,1 en d=0,8
b. Geef de directe formules van A(t) en B(t)
Hier kom ik echt niet uit!
Ik heb wel gevonden A(0) =250, A(1)= 235 en A(2) = 224,5
zo ook R(0), R(1), R(2) maar hoe kom ik aan de directe formules?

Met vr. groeten,
Katrijn

Katrijn
16-3-2011

Antwoord

Hallo, Katrijn.

Probeer A(t) = l^ta en R(t) = l^tr.

Na wegdelen van l^t komt er

la = 0.9a + 0.2r
lr = 0.1a + 0.8r

Dus 9 + 2(r/a) = (a/r) + 8 (=10l).
Stel r/a = x, zodat a/r = 1/x.
Er komt een vierkantsvergelijking met oplossingen x=1/2 en x=-1.
Dus (a=2r en l=1) of (a=-r en l=0.7).

De directe formule wordt dan: (neem de lineaire combinaties van de gevonden oplossingen)

(A(t),R(t)) = c₁(2,1) + c₂(0.7)^t(1,-1)

(Merk op dat (2,1) eigenvector is bij eigenwaarde 1, en (1,-1) eigenvector bij eigenwaarde 0.7. Omdat de tweede term naar 0 nadert, is (2,1) de stabiele verhouding: op den duur heeft het bedrijf in Amsterdam tweemaal zoveel auto's als in Rotterdam.)

U kunt de constanten c₁ en c₂ vinden door de beginvoorwaarden (A(0),R(0)) = (250,50) te gebruiken.

Dit laat ik aan u over!

hr
17-3-2011