WisFaq!

Oppervlakte driehoek

Hallo Wisfaq team,
ABC is een driehoek met A(0,0) en B(36,15) De coördinaat- getallen van C zijn gehele getallen.
Wat is de kleinst mogelijke oppervlakte van deze driehoek ?

De lengte van AB is √(36²+15²)=39
Rechte AB is y=15/36x en de CO(C)=(x₁,y₁).
De rechte OC is dan y=(y₁/x₁)·x
BC geeft dan de rechte y-15 =((y₁-15/x₁-36))(x-36).
Maar ik geraak niet aan de gevraagde oppervlakte die 3/2 zou moten zijn.En ik mot ook; nog een hoogtelijn vinden ofwel de omtrek van deze driehoek die ik dan met HEROON verder kan berekenen om de oppervlakte te bekomen ..
Toch wat hulp graag .
Groeten,
Rik
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
5-3-2011

Antwoord

De lijn AB heeft de vergelijking 5x - 12y = 0.
Tussen de punten (0,0) en (12,5) kun je in een plaatje goed zien dat er geen andere roosterpunten op liggen en dat de punten (5,2) en (7,3) er het dichtst bij liggen.
De afstand van deze punten tot AB blijkt gelijk te zijn, namelijk 1/13.
Het traject vanaf (12,5) naar (24,10) is natuurlijk gewoon een herhaling van zetten en van (24,10) naar (36,15) ook.
Het betekent dat er meerdere oplossingen zijn qua ligging van C, namelijk de reeds genoemde punten (5,2) en (7,3) waarbij je onbeperkt (12,5) kunt bijtellen.
De punten C zijn dus te vinden op lijnen door (5,2) resp. (7,3) die evenwijdig met AB zijn.
De oppervlakte is dan inderdaad ¹/₂.39.1/13 = 1¹/₂.
Strikt genomen kun je C zelfs óp AB kiezen (bijv. in (12,5)) waarbij de driehoek 'platgeslagen' wordt en de oppervlakte 0 is.
De omtrek lijkt me geen toegankelijke weg te bieden. Als je C ver voorbij het lijnstuk AB kiest, dan worden AC en BC steeds langer en dus is de omtrek niet constant.
Of er ook een zuiver analytische oplossing is, weet ik (nog) niet. Maar wellicht is dat helemaal niet de bedoeling van de vraag.

MBL
6-3-2011