WisFaq!

Continuïteit en limieten van functies

hoi, ik heb eens gekeken op deze website, maar niet echt een antwoord gevonden rond mijn volgende vraag.
hoe kan men eigenlijk met behulp van de definitie van continuïteit aantonen dat de functie ¦:$\mathbf{R}$0$\to\mathbf{R}$: x$\to$[1/X]

volgende stappen heb ik al gedaan, maar ik geraak niet echt verder tot een bewijs:

stap 1: Neem een willekeurige a $\in\mathbf{R}$ en willekeurige rij (Xk) met k $\in\mathbf{N}$ in $\mathbf{R}$ die convergeert naar a.

we weten dat lim Xk= a
lim f(Xk)= lim (1/Xk)
= 1/a??

Een tweede vraag waar ik niet weet hoe ik eraan moet beginnen of dit op te lossen is als volgt:
toon aan dat functie niet continu is in 0
g:$\mathbf{R}\to\mathbf{R}$:x$\to$ [x als x$\leq$0] en 1 als x $>$ 0

B.
3-3-2011

Antwoord

Ik zou eens kijken naar |1/a-1/x_n| en proberen dat te relateren aan |a-x_n|. Er geldt |1/a-1/x_n|=|a-x_n|/|ax_n|; de bedoeling is nu de vatiabele x_n in de noemer door iets constants t vervangen en zo te kunnen laten zien dat de 1/x_n naar 1/a convergeren. Hier gebruik je dat lim_nx_n=a: er is een N zó dat |x-a||a|/2 voor nN. Dan volgt dat 1/|ax_n|2/|a|² voor nN en dus |1/a-1/x_n|2|a-x_n|/|a|² voor die n.
Dankzij deze afschatting volgt nu dat lim_n1/x_n=1/a.

Wat je tweede vrag betreft: kijk eens naar de rij 1/n en zijn functiewaarden.

kphart
4-3-2011