WisFaq!

Kwadratische differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Hallo,

Ik zit in 6 vwo en volg wiskunde d. We zijn op het moment bezig met differentiaalvergelijkingen en hebben onder andere geleerd hoe we lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en kwadratische differentiaalvergelijkingen van de vorm dy/dt = ay²+by moeten oplossen (door middel van de substitutie y = 1/u).

Nu vroeg ik mij af hoe deze kwadratische differentiaalvergelijkingen kunnen worden opgelost als deze van een andere vorm zijn. Hierbij denk ik dan vooral aan dy/dt = ay²+by+c en dy/dt = ay²+c. Bij de tweede vorm dacht ik er aan om als particuliere oplossing y = -Öc/a te gebruiken en daarna te stellen (1/y²)dy = (a)dt om een oplossing van het homogene deel te vinden. Als ik echter (1/y²) en a primitiveer en vervolgens de homogene oplossing optel bij de particuliere oplossing, lijkt dit niet te kloppen. Weet iemand hiervoor een oplossing?

Maxim Faber
2-3-2011

Antwoord

Helaas die substitutie werkt alleen in dat speciale geval. En `particulier plus oplossing van de homogene' werkt echt alleen bij lineaire DV.
In beide gevallen ligt scheiding van variabelen meer voor de hand: dy/(ay²+by+c)=dt en dan links en rechts primitiveren.
Het hangt dan van de waarden van a,b en c af wat goed werkt.
Bijvoorbeeld dy/(y²+1)=dt geeft arctan(y)=t+c, ofwel y=tan(t+c).
dy(y²-1)=dt doe je met breuksplitsen: 1/(y²-1)=1/2·(1/(y-1)-1/(y+1)); dus na primitiveren heb je 1/2·(ln(y-1)-ln(y+1))=t+c ...

kphart
4-3-2011