WisFaq!

Middellijnen en gereduceerde vergelijkingen

Beste,

in de les zijn we over kegelsneden bezig en ik kan een oefening maar niet begrijpen.

Gegeven is de vergelijking van de kegelsnede:
3x² - 5xy + 2y² + lxz - 6yz + 4z² = 0
Ik moet l berekenen zodat x + y - 2z = 0 een middellijn is.

Partiële afgeleide naar x is: 6x - 5y + lz
en die naar y is: -5x + 4y -6, die heb ik al berekend, maar hoe gaat het verder?

Een tweede vraag is: stel de gereduceerde vergelijking op van een ellips met vergelijking x²+y²-3xz-4y+4z²=0. Klopt het dan als ik x'² + y'² - 9z'² = 0 als gereduceerde vergelijking uitkom?

Alvast bedankt! :)

Mathéo
28-2-2011

Antwoord

Beste Mathéo,

Er zit een kleine foutje in je partiële afgeleide naar y, kijk dat even na.

De vergelijking van de middellijn toegevoegd aan een richting met overeenstemmend oneigenlijk punt (a,b,0) wordt gegeven door:

a.F_x + b.F_y = 0

Hierin stellen F_x en F_y de twee partiële afgeleiden voor. Groepeer deze vergelijking volgens de coördinaten x, y en z en identificeer de coëfficiënten met die van de gegeven middellijn. Dit levert een stelsel in a, b en l dat je kan oplossen om l te vinden.

Wat de reductie betreft: daar gaat ook iets mis, je straal is te groot. Ontbreekt er ook geen z in de term -4y? Er is geen gemengde xy-term, dus de reductie zou vrij eenvoudig moeten zijn: gewoon in x en y een volkomen kwadraat vormen. Laat eventueel je uitwerking zien als het niet lukt.

mvg,
Tom

td
17-3-2011