WisFaq!

Zwaartelijnen

Beste,

In mijn wiskundehandboek staat de volgende oefening:

In een driehoek geldt: b²+c²=5 maal a² - toon aan dat de zwaartelijnen uit B en C loodrecht op elkaar staan. Verder krijg je nog de coördinaat van A(0,0) van B(c,0) en van c(p,q).

Ik heb al verschillende methodes geprobeert maar kom niet tot het uiteindelijke bewijs.
Alvast bedankt!

jef
9-2-2011

Antwoord

Voor de lengte van de zwaartelijnen gelden bekende formules, namelijk
z_b² = ¹/₂a² + ¹/₂c² - ¹/₄b² en uiteraard dan geheel analoog hieraan
z_c² = ¹/₂a² + ¹/₂b² - ¹/₄c².
We noemen het snijpunt van de twee zwaartelijnen Z. Nu wil je bewijzen dat driehoek BZC rechthoekig is, ofwel dat BZ² + CZ² = a².
Daar BZ = 2/3.z_b en CZ = 2/3.z_c, wordt dit dan
4/9.z_b² + 4/9.z_c² = a².

Als je aan de linkerkant de lengteformules voor de zwaartelijnen invult en hetgeen je dan krijgt herleid, krijg je 4/9.a² + 1/9.b² + 1/9.c²
Tezamen met het gegeven dat b² + c² = 5a² levert dit dan precies het gestelde op, namelijk 4/9.a² + 1/9.5a² = a², en het klopt dus!

MBL
10-2-2011