WisFaq!

Bewijs driehoek

Goedenmiddag,

Bij onderstaande vraag moet ik bewijzen dat een bepaalde hoek gelijk is aan een bepaalde formule. Echter begrijp ik niet hoe ik dit kan aanpakken en begrijp ik eerlijk gezegd het antwoord uit het antwoordenboek maar half. Zou u er een uitleg bij willen geven? Overigens heb ik een plaatje gemaakt. Deze kan ik niet toevoegen bij mijn vraag. Ik heb het daarom op internet gezet: http://www.plaatjesupload.nl/bekijken/3485422.html

De vraag luidt: In de figuur hierboven is BD de bissectrice van ÐB en DE de bissectrice van ÐBDA.
Bewijs dat ÐBED=ÐA+¹/₂ÐC+¹/₄ÐB.

Het antwoord luidt:
ÐADB = ÐC+¹/₂ÐB (stelling van de buitenhoek bij DBDC)
ÐBED=ÐA+ÐADE = ÐA+¹/₂ÐADB=ÐA+¹/₂(ÐC+¹/₂ÐB)=ÐA+¹/₂ÐC=¹/₄ÐB

De berekening van ¹/₂ maal hetgeen wat tussenhaakjes staat begrijp ik wel. Maar hoe ze erop komen is een ander verhaal.
Dank u wel

Stella Werkman

Stella Werkman
7-2-2011

Antwoord

ÐBED = ÐA + ÐADB is op grond van de stelling van de buitenhoek.
ÐBED is immers een buitenhoek van driehoek AED.
Vervolgens wordt ÐADE vervangen door ¹/₂ÐADB en dat is natuurlijk juist omdat DE bissectrice is van ÐADB.
Kijk nu naar driehoek BCD.
ÐADB is buitenhoek van deze driehoek en op grond van de al vermelde stelling van de buitenhoek dus gelijk aan ÐC + ÐCBD.
De laatstgenoemde hoek is gelijk aan ¹/₂ÐB en daarmee is het verhaal wel rond, lijkt me.

MBL
7-2-2011