WisFaq!

Euclidische deling

Hallo,
Ik probeer een puzzel op te lossen met 3 onbekenden en 2 vergelijkingen. Dit zijn de vergelijkingen:
6x + y + 12z = 992 = y = 992 - 12z - 6x
x + 12y + 6z = 985
Verder is gegeven dat x, y en z Reële getallen zijn.
In een spreadsheet heb ik bepaald dat de waarden voor x, y en z respectievelijk 43, 50 en 57 moet zijn maar dat moet ook berekend kunnen worden.
Volgens mij moet dat kunnen met een Euclidische deling maar blijkbaar maak ik een fout. Wat ik heb gedaan:
Door de eerste vergelijking in de tweede op te nemen kan een vergelijking met twee onbekenden worden gemaakt:
x + 12(992 - 12z - 6x) + 6z = 985 = 71x + 138z = 10919
Nu zou je een Euclidische deling moeten doen. Als ik hem toepas komen er steeds verkeerde waarden uit. Hierbij wat ik in eerste instantie heb geprobeerd:
138 = 71 · 2 -4 = -4 = 138 - 2 · 71
Nu beide zijden vermenigvuldigen met 10919:
10919 · -4 = 10919 · 138 - 21838 · 71
Nu berekenen en tevens de onbekende n invoeren:
-43676 = 138(10919 · 71n) + 71(-21838 - 138n)
Hieruit volgt:
x = -21838 -138n
z = 10919 + 71n
10919 = 71 · 153 + 56 (dit laatste getal zou de waarde voor z moeten zijn maar klopt niet)
-21838 = -138 · 158 - 34 (dit laatste getal zou de waarde voor x moeten zijn maar klopt niet)
Hier heb ik dus ergens een fout gemaakt maar tien keer narekenen leverde geen verbetering op.
vriendelijke groet

Han
5-2-2011

Antwoord

Uitgaand van de vergelijking 71x + 138z = 10919 stellen we eerst vast dat de GGD van de cofactoren van x en z gelijk is aan 1, zodat een oplossing gegarandeerd is.
Via het delingsalgoritme van Euclides is de GGD te schrijven als lineaire combinatie van 71 en 138 en ik vond 1 = 35·71 - 18·138
Vermenigvuldig dit met 10919 om als oplossing het getallenpaar
(382165,-196542) te krijgen.
Dan volgt x = 382165 + 138t en z = -196542 - 71t als algemene oplossing (t geheel) en de y vind je nu uiteraard door de eerste vergelijking erbij te betrekken.

PS: als de prijs van de puzzel de moeite waard is, dan deelt Wisfaq graag mee!

MBL
6-2-2011