WisFaq!

Kegelsneden (hyperbool)

Hallo,

ik ben een student in de 3e graad ASO en kan een vraag i.v.m. hyperbolen niet vatten.

Ik moet de vergelijking van een hyperbool bepalen, waarvan de asymptotische richtingen van de rechten gegeven zijn. Deze zijn a:2x+y-3=0 en b:x-y-5=0. Hierbij word gegeven dat P(2,0), Q(0,1) en R(0,3) op de hyperbool liggen. Bepaal ook de vergelijking van de asymptoten.

Ik weet (uit de rechten die de asymptotische richtingen bepalen) dat de rico(a) = -2 en rico(b) = 1. De oneigenlijke punten zijn dan A(1,-2,0) en B(1,1,0).

Om de vergelijking op te stellen heb ik twee ontaarde basisexemplaren nodig.

1e ontaarde basisexemplaar: AP U AR en wordt dus (2x+y-4z)(2x+y-3z)=0

Maar wat moet ik als tweede basisexemplaar nemen? Eens ik die ken kan ik mijn kegelsnedebundel opstellen en mijn resterend punt in invullen. Voor de asymptoten is dit gewoon de partiële afgeleide van de kegelsnede nemen en de asymptotische richtingsgetallen in invullen?

Zien jullie hier misschien het licht in? Alvast bedankt

Mathéo

Mathéo
1-2-2011

Antwoord

Hallo, Mathéo.

Er gaat precies 1 n.o. kegelsnede door 5 gegeven vrijgelegen punten.

Ga uit een willekeurige homogene kwadratische vergelijking

a X² + b Y² + c Z² +
d XY + e XZ + f YZ = 0,

en vul de homogene coördinaten van de gegeven punten in, dus (X,Y,Z) = (resp) (een scalair veelvoud van)
(2,0,1), (0,1,1), (0,3,1), (1,-2,0), (1,1,0).

Je krijgt dan een onafhankelijk stelsel van vijf lineaire vergelijkingen in zes onbekenden.
Deze heeft een 1-dimensionale oplossingsruimte
(a,b,c,d,e) = lambda*(A,B,C,D,E) met lambda reëel.

Vind zelf zulke getallen A,B,C,D,E.

De gezochte hyperbool heeft dan homogene vergelijking

A X² + B Y² + C Z² +
D XY + E XZ + F YZ = 0.

Een inhomogene vergelijking vind je door Z=1 te substitueren.

hr
3-2-2011