WisFaq!

De Ration Test voor machtreeksen

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende machtreeks

f(z)=SOM[(a_n)z^(n+k+1)], n=1 tot oneindig.

met a_n=[((n+k+1)²)/((n²)+(2k+1)n)]·a_(n-2)

met k een constante. Helaas kan ik geen mooie gesloten uidrukking vinden voor deze recurrente relatie, dat zou de Ratio Test denk ik een stuk gemakkelijker maken.

Mijn eerste vraag is hoe ik zo een gesloten vorm kan vinden. Want als ik een de uidrukking voor een paar n uitschrijf zie ik wel een patroon maar het lukt mij niet om een uitdrukking te vinden.

Als ik de RT toepas vind ik

|b_n+1/b_n|=|[a_n+1z^(n+k+2)]/[(a_n)z^(n+k+1)]|=
|[a_n+1/a_n]·z|.

Ik heb a_n+1/a_n berekend, hopelijk heb ik geen fouten gemaakt want het is een hele vervelende uidrukking, en ik krijg

[24/(8n+24)] maar dit gaat naar 0 voor n-oneindig.

Hieruit volgt dan dat |[a_n+1/a_n]·z| naar 0 gaat voor n naar oneindig, maar zo vind ik geen convergentiestraal R. Ik begrijp niet wat ik nu kan concluderen over de convergentie van deze machtreeks.

Groeten,

Viky

Viky
21-1-2011

Antwoord

Aan de betrekking is te zien dat de a_n met even en oneven index onafhankelijk van elkaar zijn; ik zou dus apart naar de even en oneven termen kijken. In beide gevallen geldt dat je geen expliciete uitdrukking nodig hebt om de ratio test te kunnen gebruiken: a_n/a_n-2 = (n+k+1)²/(n²+(2k+1)n) en dat heeft limiet 1.
Dus de even en de oneven reeks hebben beide convergentiestraal 1 en dus de totale reeks ook.

kphart
24-1-2011