WisFaq!

De eigenwaarden van een Sturm-Liouville probleem

Beste wisfaq,

Ik heb het volgende S.L. probleem

y''+ky=0,
y(0)=0, y(1)-y'(1)=0.

Ik heb de eigenwaarden gevonden voor k=0 en voor k0. Ik wil aantonen dat voor k0 er geen oplossing bestaan die kan voldoen aan de vergelijking en aan de randvoorwaarden maar dit lukt mij niet helemaal.

(·)y''+ky=0 met k0, de karakteristieke vergelijking is

X²+k=0, en de nulpunten hiervan zijn p1=sqrt(m) en p2=-sqrt(m), met m=-k. De algemene oplossing van (·) is dus

y(x)=a·exp(p1·x)+b·exp(p2·x)

De eerste randvoorwaarde geeft y(0)=a+b=0, dus a=-b.

y(x)=a[exp(p1x)-exp(-p1x)], en

y'(x)=a·p1[exp(p1x)+exp(-p1x)].

De tweede randvoorwaarde geeft

y(1)-y'(1)=a[exp(p1)-exp(-p1)]-a·p1[exp(p1)+exp(-p1)]
=a(1+p1)exp(p1)-a(1-p1)exp(-p1)=0

en hieruit volgt dat

(··)exp(2·p1)=[1-p1]/[1+p1].

Ik kan nog de ln nemen in (··) van beide kanten, dan voldt dat 2·sqrt(m)=ln(1-sqrt(m))-ln(1+sqrt(m)). Dus

0 m=-k 1, ofwel -1 k 0.

Maar ik begrijp niet wat ik nu hieruit kan concluderen uit over negatieve eigenwaarden?

Groeten,

Viky

Viky
18-1-2011

Antwoord

Je krijgt (**) of a=0/b].
(**) heeft geen oplossing: als p10 dan exp(2p1)1 en (1-p1)/(1+p1)1.
Dus blijft a=0 over.

kphart
18-1-2011