WisFaq!

Eenheidssfeer

Leid de formules voor de stereografische projectie af.
Het lijnstuk naar N(0,0,1) kan beschreven worden met:
(1-y)(0,0,1) + t(x,y,0) met 0t1

Het antoord geeft:
x²+y²+z² = 1(x,y,z) = (1-t)(0,0,1)+t(x,y,0) =
x=tx, y=ty, z=1-t

Waar moet dit ingevuld worden?

Jack
18-1-2011

Antwoord

Maak onderscheid tussen bepaalde (x,y) (=(a,b)) en onbepaalde (x,y).

Het lijnstuk van (0,0,1) naar (a,b,0) (met a²+b²>1) heeft vectorvoorstelling
(x,y,z) = (1-t)*(0,0,1) + t(a,b,0) met tÎ[0,1].

Snijden van dit lijnstuk met de bol
x²+y²+z²=1

geeft:

(ta)²+(tb)²+(1-t)²=1, ofwel:

t²(a²+b²+1) -2t = 0.

Met t=0 krijg je (x,y,z)=(0,0,1), anders t=2/(a²+b²+1)

en (x,y,z) = (1-2/(a²+b²+1))*(0,0,1) + 2/(a²+b²+1)(a,b,0).

Het rechterlid is de stereografische projectie van (a,b,0).
Je kunt dat nog wat verder uitwerken en vereenvoudigen.

hr
19-1-2011