WisFaq!

Een inhomogeen Sturm-Liouville probleem

Beste wisfaq,

Ik heb het volgende inhomogene S.L. probleem

(1) y''(x)+y(x)=f(x), y(0)=y'(pi)=0.

Ik wil bepalen voor welke f(x) er een oplossing bestaat voor (1). Ik weet niet precies wat de aanpak moet zijn, ik heb wel een propositie die ik zou kunnen gebruiken. Het vraagstuk begint met het homogene Sturm-Liouville probleem

(2) y''(x)+k*y(x)=0, y(0)=y'(pi)=0.

De eigenwaarden zijn hier k_n=(n+1/2)^2, n=0,1,2,3,

De eigenfuncties zijn y_n(x)=sin((n+1/2)x)

Propositie
Laat op [a,b] het inhomogene S.L probleem gegeven zijn

(*) Ly=(py')'+qy=f, met randvoorwaarden y(a)=r en y(b)=s.

En G(x,t) is de Greense functie bij S.L. operator L.
Neem aan dat de homogene vergelijking met f=0 en s=r=0 alleen de nuloplossing heeft. Dan is de oplossing van (*) uniek en wordt gegeven door

(3) y(t)=INT[f(x)G(x,t)]dx+B(y,G)(a)-B(y,G)(b), de integraal loopt van a tot b.

met B(y,G)=p(x)[f'(x)G(x,t)-f(x)(pG/px)(x,t)], p staat voor partiële afgeleide.

Dus in (1) is k=1 en dit is geen eigenwaarde van (2), dus voor k=1 heeft (2) alleen de nuloplossing. Nu kan ik de propositie gebruiken. De oplossing van (1) wordt gegeven door (3).

Maar ik begrijp niet wat ik nu kan zeggen over f(x)?

Groeten,

Viky

Viky
14-1-2011

Antwoord

Het lijkt me dat het probleem dus voor alle f oplosbaar is, wellicht staat in de stelling nog iets over de aard van f.

kphart
17-1-2011