WisFaq!

De methode van karakteristieken

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende PDE

x·u_x+y·u_y=u met u=u(x,y).

De algemene oplossing heb ik gevonden met de methode van karakteristieken, deze is

u(x,y)=k(y/x)·x, met k een willekeurige functie.

Nu wil ik nagaan of het volgende randwaardeprobleem welgesteld is

x·u_x+y·u_y=u, u(x,0)=f(x).

Ik ga eerst na of er een oplossing bestaat en hier loop ik vast, y=0 dus

u(x,0)=f(x) en u(x,0)=k(0)·x.

Hieruit volgt dat f(x)=k(0)·x, we kunnen ook schrijven

k(0)=f(x)·[x^-1].

Nu bepaal ik de algemene oplossing van het randwp.,

u(x,y)=k(0)·x=f(x)·[x^-1]·x=f(x).

Ik begrijp niet wat ik hieruit kan concluderen want ook u(x,0)=f(x).

Groeten,

Viky

Viky
11-1-2011

Antwoord

Blijkbaar is er alleen een oplossing als f(x) van de vorm a·x is en in dat geval zijn er een heleboel oplossingen: voor elke functie k met k(0)=a heb je een oplossing.
Dit betekent dat het probleem niet goed-gesteld: is voor elke f of geen of oneindig veel oplossingen.

kphart
12-1-2011