WisFaq!

Signatuur

Beste Wisfaq,

Ik moet de signatuur bepalen van:
x -1
-1 x
Voor x=1 en x=-1

Dus ik moet de matrix omzetten naar een matrix in de juiste vorm, daarna is het tellen.

Ik dacht misschien eigenwaarden te vinden (0 2) en (0 -2)
Dan vind een eigenvector bij beide [-1 1]
En geen gegeneraliseerde eigen ruimte. Want ik dacht dan de eigenwaarden orthonormaal te maken, maar dat gaat dus niet lukken. Hoe kan ik dit het beste oplossen?


Vervolg vraag
Vervolgens bepaal ik van voor welke x deze positief definiet is.
x -1 1
-1 x 1
1 1 1
Hiervoor moet aii positief zijn. En ook de determinant moet positief zijn. Als ik dit naga kom ik uit bij: x3 Maar dit zijn voorwaarden en niet DESDA. Als ik x^tAx doe krijg ik:
xa² -ab + 2ac +xb² + bc +c²
Om het te bewijzen moet ik aantonen dat dit groter is dan nul denk ik. Maar hoe doe ik dat?

Nog bedankt voor het antwoord op een vorige vraag.

Jan
31-12-2010

Antwoord

dag Jan,
Hoewel ik niet echt thuis ben in deze materie, wil ik wel een poging wagen om je op weg te helpen.
Je eerste vraag: op MatrixSignature.html vind ik de definitie van signatuur.
Kijk nu eens naar de gegeven matrix A voor x=1 of voor x=-1
Deze matrix is in beide gevallen singulier. Dat betekent dat je op de diagonaal van de bedoelde C^T·A·C altijd een 0 krijgt.
Nu weet ik niet of dit ook valt onder de definitie van signatuur, maar misschien weet jij dat wel.
Je tweede vraag: de determinant is gelijk aan x²-2x+1, en dat is dus gelijk aan (x-1)². Deze is altijd positief als x¹1.
Maar deze berekening is volgens mij niet nodig om antwoord op de vraag te geven.
Omdat de matrix symmetrisch is, hoef je alleen te berekenen voor welke waarden van x de eigenwaarden positief zijn, om te kunnen constateren dat de matrix positief definiet is.
Hopelijk heb je hier wat aan,
groet,

Anneke
4-1-2011