WisFaq!

Re: Eigenfuncties van integraalvergelijkingen

Ik ben inderdaad de f(t) vergeten, het moet zijn

(1) f(x)=x²+k·INT[f(t)(1+5xt)]dt

Ik heb nu ook de juiste eigenfuncties gevonden. Beide eigenfuncties behoren bij eigenwaarden zijn oplossingen van de integraalvergelijking.

Om te bepalen wanneer de Neumannreeks convergeert heb ik alleen de eigenwaarden nodig want als m een eigenwaarde is van A dan is de inverse van m een karakteristieke waarde. Als notatie gebruik ik k=m^-1. Dus in dit geval zijn de karakteristieke waarden k1=2/5 en k2=6. Deze karakteristieke waarde komt voor in de Neumannreeks:

f(x)=SOM[(kⁿ)·((Kⁿ)g(x))]

waar ((Kⁿ)g(x) wordt gegeven door een recurrente relatie waar geen k in voorkomt, ((Kⁿ)g(x) hoeft hier niet berekend te worden.

In dit vraagstuk moet ik de Neumannreeks als functie van k beschouwen en dan kijken wanneer de Neumannreeks convergeert. Maar dan volgt denk ik gelijk dat de reeks convergeert voor alle k met |k|1. Dus de convergentiestraal R=1. Dus in dit geval convergeert de reeks alleen voor voor de karakteristieke waarde k1=2/5.

Is dit correct?

Groeten,

Viky

Viky
30-12-2010

Antwoord

De norm van de operator K (ten opzichte van de maimumnorm) is 7/2, dus de reeks convergeert zeker voor |k|2/7.
Maar omdat het beeld van K uit polynomen van graad =1 bestaat kun je, met behulp van de karakteristieke waarden (5/2 en 1/6) en eigenfuncties (g₁=3-5t
en g₂=1+3t), eerst schrijven Kg=c*g₁+d*g₂; voor g krijg je als algemene term in de Neumann-reeks: kⁿ*(c*(5/2)ⁿg₁+d*(1/6)ⁿg₂). Die convergeert dus als |k|2/5.

kphart
9-1-2011