WisFaq!

Re: Machtreeksoplossingen van een differentiaalvergelijking

Dat was inderdaad niet handig van mij. Ik heb de n(n+1) vervangen door k(k+1). Ik heb de oplossing bijna gevonden maar loop aan het eind vast.

Ik heb nu:

1. de indiciaalvergelijking

s(s-1)-k(k+1)=0

de nulpunten zijn s1=-k en s2=k+1,
dus s1-s2 (en s2-s1) is een geheel getal dus ik kan maar één oplossing vinden.

2. de recurrente relatie is

(*) [(n+s)(n+s-1)-k(k+1)]a_n=[(n-2+s)^2]a_(n-1)

Nu moet ik een van de nulpunten substitueren, voor het grootste nulpunt is er altijd een oplossing, dus ik substitueer k+1 in (*), dit geeft de recurrent relatie

(*1) [(n^2)+2nk+1]a_n=[(n+k-1)^2]a_(n-1)

Dus a_n={[(n+k-1)^2]/[(n^2)+2nk+1]}a_(n-1)

Mijn machtreeksoplossing is

SOM[(a_n)z^(n+k+1)]=a0*z^(k+1)+a1*z^(k+2)+a2*z^(k+3)+...
(som loopt van n=0 tot oneindig).

met a_n zoals in (*1).

Nu weet ik niet precies hoe ik verder moet.
Ik heb a_0=1 genomen en ik ben gaan kijken of ik een formule kan vinden voor a_n, ik heb het volgende

a1=[k^2]/[2k+2]
a2={[(k+1)^2]/[4k+5]}*a1
a3={[(k+2)^2]/[6k+10]}*a2
a4={[(k+3)^2]/[8k+17]}*a3
etc.
Er zit duidelijk een patroon in maar ik zie niet hoe deze kan formuleren.
Ik weet nu hoe ik nu verder moet. Ik wil namelijk nog bepalen of de oplossing convergeert en daarvoor heb ik een formule voor a_n nodig, of misschien is de informatie die ik heb al voldoende om dit te bepalen?

Groeten,

Viky

Viky
17-12-2010

Antwoord

Viky,
Ik twijfel og jouw recurrente relatie wel juist is. Uitgaande van de DV
z²(1-z²)y"(z)-2z³y'(z)-n(n+1)y(z)=0 en y(z)=åa(k)z^(k+s),k van 0 naar oneindig geeft:å{(k+s)(k+s-1)-n(n+1)}a(k)z^(k+s)-
å(k+s)(k+s+1)a(k)z^(k+s+2)=0.Hieruit volgt door in de eerste reeks k=0 en k=1 te nemen en vervolgens de index k in deze reeks te vervangen door j+2, geeft.{s(s-1)-n(n+1)}a(0)+{s(1+s)-n(n+1)}a(1)z+
å[{(k+s+2)(k+s+1)-n(n+1)}a(k+2)-(k+s)(k+s+1)a)k)]z^(k+2=0.Omdat a(0)¹0 is,is s=n+1 os s=-n.Hieruit volgt dat a(1)=a(3)=...=0, zodatvoor s=n+1 geldt:
a(k+2)=(k+n+1)(k+n+2)a(k)/[(k+n+3)(k+n+2)-n(n+1)],voor k=0,2,4,...
Eerst maar kijken of je het hier mee eens bent.

kn
17-12-2010