WisFaq!

Machtreeksoplossingen van een differentiaalvergelijking

Beste wisfaq,

Ik wil twee onafhangkelijke oplossingen vinden rond het reguliere singuliere punt z=0 van de volgende differentiaalvergelijking

y''(z)-A(z)y'(z)-B(z)y(z)=0,

A(z)=2z/[1-(z²)]

B(z)=n(n+1)/[(1-(z²))z²].

1. Ik substituteer de machtreeks f(z)=SOM[(a_n)z^(n+s)], de som loopt van n=0 tot oneindig, in de d.v., dit leidt tot de volgende som

SOM[(1-(z²))(n+s)(n+s-1)-2(n+s)z²-n(n+1)](a_n)zⁿ=0

2. Ik neem z=0, alle termen met n0 verdwijnen, en ik houd de volgende vergelijking over:

s(s-1)a₀=0, maar a₀ is ongelijk 0 dus mijn indiciaalvergelijking is

s(s-1)=0, dus s=0 of s=1.

De nulpunten verschillen een geheel getal dus ik maar één oplossing vinden. Een tweede oplossing moet ik op een andere manier vinden.

3. De recurrente relatie, som van alle coefficient van zⁿ, is

[2ns-2n+s²-s]a_n=[(n-2+s)²]a_(n-2)

4. Hier vul ik s=1 in dat zou een oplossing moeten geven

[(n-1)²]a_(n-2)=0

Hieruit volgt dat n=1 of a_(n-2)=0.

Vraag1: Ik begrijp niet goed wat ik hieruit moet concluderen en wat nu mijn oplossing y(z)=SOM[(a_n)zⁿ⁺¹]=(a₀)z+(a₁)z²+.... is.

Ik weet dat a₀ niet gelijk is aan 0, dus ik heb in ieder geval de term (a₀)z.

Als a_(n-2)=0, dan zijn alle termen in y(z) nul behalve (a₀)z.

Als n=1 dan heb ik de twee termen (a₀)z+(a₁)z²?

Dus mijn oplossing is y(z)=(a₀)z+(a₁)z² ?

Vraag2: Hoe vind ik nu een tweede oplossing, kan dat met reductie van orde?

Vraag3: Hoe laat ik zien voor welke z de gevonden oplossing y(z) convergeert?

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
15-12-2010

Antwoord

Viky,
In de DV komt de term n(n+1) voor, terwijl je in de reeks ook de index n gebruikt.
Dat gaat natuurlijk niet goed.Ik vond dat s(s-1)-n(n+1)=0.
Hopelijk lukt het nu wel.

kn
16-12-2010