WisFaq!

Limieten

Hoe bewijs ik de productregel voor limieten.

( de som en verschil zijn vrij eenvoudig mbv driehoeksongelijkheid)

mvg

Roland
11-12-2010

Antwoord

Als je uitgaat van Limf(x) = L en Limg(x) = M (steeds in de onderstelling dat x ®a, wat ik vanaf hier verder weglaat), dan moeten we bij een gegeven e0 een d0 vinden , zo dat |f(x).g(x) - L.M|e zodra 0|x-a|d.
Schrijf |f(x).g(x) - L.M| als |f(x).g(x) - L.g(x) + L.g(x) - L.M| en daarmee komt de driehoeksongelijkheid in beeld.
Je krijgt: |f(x).g(x) - L.M| = |{f(x)-L}.g(x) + L.{g(x) - M}|
|{f(x) - L}.g(x)| + |L.{g(x) - M}| = |f(x) -L|.|g(x)| + |L|.|g(x) - M|.

Nu probeer je om elk van de twee termen aan de rechterkant kleiner dan ¹/₂e te krijgen zodra 0|x-a|d.

Omdat Limg(x) = M, is er een positieve d₁ te vinden zodat |g(x) - M| e/2(1+|L|) wanneer 0|x-a|d₁
Maar er is ook een positieve d₂ te vinden zó dat wanneer 0|x-a|d₂ geldt dat |g(x) - M| 1.
Dan is |g(x)| = |g(x) - M + M| |g(x) - M | + |M| 1 + |M|

Uit het gegeven dat Limf(x) = L volgt dat je een positieve d₃ kunt vinden waarvoor geldt dat |f(x) - L| e/2(1+|M|) als 0|x-a|d₃.
Als je nu van de drie delta's de kleinste neemt en die verder d noemt, dan heb je zodra 0|x-a|d dat
|f(x).g(x) - L.M| e/2(1+|M|).(1+|M|) + |L|. e/2(1+|L|) ¹/₂e + ¹/₂e = e waarmee de zaak rond is.

MBL
13-12-2010