WisFaq!

Ontbinding van drietermen

Ik heb een klein probleem met het begrijpen van de ontbinding van drietermen. ik weet niet hoe ik het moet oplossen of begrijpen. Daarom heb ik enkele opgaven uit mijn boek genomen om ze te kunnen begrijpen A U B deze zijn
x²-8x-9= . . . , 4x²-20x+25= . . . , 6x²+13x-5= . . . deze zijn het ik sla compleet tilt en ik zou deze moeten kunnen oplossen om het volgende hoofdtsuk in de klas te kunnen begirjpen

thomas
5-1-2003

Antwoord

Werk als inleidend voorbeeld eens de volgende vorm uit:
(ax + b)(cx + d)
Je krijgt: acx² + adx + bcx + bd = acx² + (ad + bc)x + bd.
Let nu eens op het volgende: het product van de getallen ac en bd is het product van het getal dat voor de x² staat en het laatste getal van je uitgewerkte vorm.
Nu is ac.bd natuurlijk hetzelfde als ad.bc en de combinatie ad + bc is precies het getal dat je voor de x ziet staan in je uitwerking.
Op dit verschijnsel berust nu het zogenaamde ontbinden in factoren, aangenomen dat er een ontbinding mogelijk is!

We nemen eerst je laatste voorbeeld: 6x² + 13x - 5.
Bepaal het product 6.-5, wat -30 oplevert.
Nu moet je proberen om -30 te splitsen in twee getallen die bij elkaar opgeteld 13 opleveren (hier wordt gebruikt wat in het begin van de uitleg werd aangetoond).
Met -2.15 zit je dan goed, want -2.15 = -30 en -2 + 15 = 13.
Daarmee is de ontbinding gevonden. Schrijf de beginvorm namelijk als 6x² + 15x - 2x - 5 en ontbind nu de eerste twee termen en ook de laatste twee termen. Je krijgt:
3x(2x + 5) -1(2x + 5). De clou is nu dat er tussen de haakjes twee keer het zelfde staat. Dan heb je namelijk de mogelijkheid om te schrijven: (3x - 1)(2x + 5).
Werk het maar weer eens uit en je ziet dat je alles weer ziet terugkomen.

Nu 4x² - 20x + 25.
4.25 = 100 en dus moet je 100 splitsen in twee getallen die samen -20 opleveren. Al gauw vind je -10.-10
Dan: 4x² - 20x + 25 = 4x² - 10x - 10x + 100 = 2x(2x - 5) - 5(2x - 5) ofwel (2x - 5)(2x - 5), dus (2x - 5)²
Acheraf kun je natuurlijk vaststellen dat 4x² het kwadraat is van 2x en dat 25 het kwadraat is van 5, zodat het wel (2x - 5)² moest worden. Maar wel nog controleren of de middenterm -20x dan ook klopt; hier is dat inderdaad het geval.

De eerste is het makkelijkst: omdat er voor x² het getal 1 staat, krijg je als product nu 1.-9 = -9 (dus gewoon het laatste getal). Probeer nu -9 te splitsen in twe getallen die samen -8 zijn. Je vindt 1.-9
De ontbinding is daarmee een feit:( x + 1)(x - 9)

Allemaal niet eenvoudig zoals je ziet, en bovendien weet je van te voren nooit zeker of er wel een ontbinding mogelijk is. Als troost: type 1 zie je vrij weinig, dus misschien moet je je maar concentreren op de andere twee voorbeelden. En dit leer je alleen vlotjes te doen door er een behoorlijk aantal van te maken!

MBL
5-1-2003