WisFaq!

Convergentiegebied Maclaurinreeks

(1+x)^m=$\sum$_k=0^+$\infty$
(m)x^k
(k)
Deze reeks convergeert in het gesloten interval ]-1,1[ voor elke reële m-waarde, maar voor welke m-waarden convergeert ze bij een x van +1 of -1?. Er is namelijk een foutje in mijn schrift geslopen.

wouter
4-12-2010

Antwoord

Ik neem aan dat je met ]-1,1[ het open interval bedoelt.
Voor m$>$0 convergeert de reeks (absoluut) in beide eindpunten; dit volgt omdat de termen in -1 op den duur tekenvast worden, waardoor de partiele sommen dan monotoon naar 0 convergeren.
Voor m$<$0 is er zeker geen convergentie als x=-1, omdat (1-1)^m niet gedefinieerd is, de limiet voor x naar -1 van (1+x)^m is immers oneindig.
Voor -1$<$m$<$0 is er relatieve convergentie in x=1 (criterium van Leibnitz)
Voor m$<$=-1 gaat de algemene term van de reeks niet naar nul, dus is er ook in x=1 geen convergentie.

kphart
7-12-2010