WisFaq!

Convergerende oneindige reeks

In de reeks voor pi/4 werd opgegeven: Som=1-1/3+1/5+1/7-1/9. . .etc. en ik dacht eerst dat de delers de priemgetallen waren maar al gauw ontdekte ik dat het de oneven getallen zijn. Dit bracht me op het idee om deze reek voor priemgetallen uit te rekenen:

Som= 1-1/2+1/3-1/5+1/7-1/9+1/11-1/13+1/17-1/19. . .enz). Het werd me meteen duidelijk dat de termen sneller naar nul neigen te gaan dan voor de reeks voor pi en dus de reeks convergerend moest zijn.

Som[+/-1/Pr} voor n=1 naar n------oo] -----0,73712504779864000.. . .Conrad’s Getal J?

Is dus de reeks die ik berekend heb. Het feit dat er nullen aan het einde zijn is veroorzaak door de grenzen van Excel.

Voor de eerste 125 priemgetallen convergeert de reeks naar het bovengenoemde getal en de grafiek toont convergentie aan. Ook is duidelijk dat de verschillen tussen n en n+1 op de zelfde manier convergeren en op hun beurt de tweede afgeleide, dus de verschillen van de verschillen, dat ook doen. Het getal is iets minder dan Pi/4.

Mijn vraag is nu 1) of dit ooit eerder is bekeken. In de link waar 60000 reeksen zijn geregistreerd komt deze reeks kennelijk niet voor. De vraag daar stellen vereist eerst een omslachtige registratieprocedure dus wil ik mijn vragen eerst aan Wisfac voorleggen;

1/reeks ------1,35662192322241000
en
4*reeks-------2,94850019119456000

2)Veel reeksen zijn er uiteraard bekend zonder dat de limiet iets speciaals betekend in de natuur of technologie. Priemgetallen zijn echter niet willekeurige getallen en dus vraag ik me af of deze

Som[+/-(1/Prn)] n---- oo

reeks iets speciaals zou kunnen betekenen in de wetenschap/natuurkunde/technologie;

3) Het lijkt op het eerste gezicht dat de Limiet Som 0,73712504779864000 een irrationaal getal moet zijn, zowel als een transcendentaal getal moet zijn. . .juist vanwege de onregelmatige verschijning van de priemgetallen. Uiteraard zie ik dit niet als een sluitend bewijs. Tor hoeverre kunnen de WisFac Experts hierover oordelen

Hoogachtend,

Conrad Winkelman
Voor de goede orde, ik ben een werktuigkundig ingenieur(niet ir.) afestudeerd BASC 1974 Universiteit UBC in Vancouver Canada.
Ik heb een uitermate grote interrese in wiskunde en de relatie tussen de wiskunde en de realiteit van het materiële universum. In deze zin stel ik dat "getallen" puur abstracte creaties zijn. In deze zijn worden natuurlijke processen niet door wiskunde gedreven maar dat wiskunst slechts ons gereedschap is om de natuur en hoe het werkt in kaart te brengen. Dus zonder de mens bestaan getallen en wiskunde niet.

In wiskunde boeken zie ik vaal een slordig gebruik van woorden zoals wiskundige "ontdekkingen" en wiskundige “uitvindingen” alsof er enerzijds in het universum wiskunde verborgen zit dat slecht gevonden moet worden, en anderzijds dat sommige wiskundige zaken door mensen bedacht zouden zijn. Ik hou me aan de stelling dat getallen slechts door ons brein gecreëerd worden. In het universum zijn louter fysieke processen aan het werk en de mogelijkheden voor hoe iets gebeurd wordt niet bepaald door een formule maar door proces mogelijkheden. . .mogelijkerwijs louter op kwantum niveau.

Conrad Winkelman
30-11-2010

Antwoord

Reeksen waarvan de termen afwisselend positief en negatief zijn, en waarvan de absolute waarde van de term monotoon naar 0 nadert, convergeren altijd. (Dit staat bekend als het convergentiecriterium van Leibniz.)

De oneindige som ligt altijd tussen de som van de eerste N termen en de som van de eerste N+1 termen, ongeacht N.
De oneindige som is nauwkeurig berekend door Robinson en Potter in 1971, maar over deze uitkomst is verder niet bekend of hij irrationaal is, en ook niet op welke wijze hij in de natuur voorkomt.

Zie http://mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html .

U werpt interessante vragen op over de ontdekking dan wel constructie van wiskundige zaken.

Hierover is al strijd geweest tussen de aanhangers van Plato en die van Aristoteles, en recentelijk tussen de aanhangers van wiskundigen als Cantor en die van Brouwer.

Persoonlijk denk ik (min of meer zoals Plato en Cantor) dat God de hele wiskunde in zijn schepping heeft gelegd, en dat we die dan gaandeweg een beetje ontdekken.

U vindt (min of meer zoals Aristoteles en Brouwer) dat wiskunde door ons brein wordt geschapen, eventueel na bestudering van de natuur.

Deze kwestie blijft dus onbeslist.

hr
2-12-2010