WisFaq!

Afstandsberekening

Hallo Wisfaq,
Ik krijg volgend probleem door een student voorgeschoteld en trachtte het ook op te lossen.
In een orthonormaal assenstelsel snijdt een vertikale rechte de parabool P1: f(x)= x²/2 in het punt A en in een punt B op de rechte met vergelijking Q:y=x-2.
Bepaal de kortste afstand tussen A en B.

Ik maakte een figuur en tekende de parabool. Ik stel dadelijk vaast dat de Parabool P1 en de rechte Q geen snijpunten hebben.
Ik 'vergelijk' wel de beideP1 en Q met elkaar en bekom een nieuwe parabool P2 van de vorm x²/2=x-2 of P2:x²/2-x+2
Ik zoek daarvan de top en bekom Co(T)=(1,3/2)
Dit is dan tevens punt A=punt T met Co(A)=(1,3/2) omdat het op het minimum ligt van deze P2 parabool en op de vertikale rechte daardoor (die dus wordt x=x₁=1). Punt B(x₁,x₁-2) wordt
dan Co(B)=(1,-1)
Met |AB|=$\sqrt{ }$((1-1)²+(3/2-1)²)= $\sqrt{ }$(5/2)²=5/2=2,5
Dus we vinden 2,5 is dan de minimaale afstand tussen A en B en dat kan niet anders , geloof ik.Nagemeten op mijn figuur klopt dat ook .
Groeten en graag wat commentaar aub.

Rik Lemmens
27-11-2010

Antwoord

Als de verticale lijn de vergelijking x = p heeft, dan zijn de coördinaten van de punten A en B bekend, namelijk A = (p,¹/₂p²) en B = (p,p-2).
Omdat in deze situatie A altijd boven B ligt, geldt
d(A,B) = ¹/₂p² - (p-2) wat neerkomt op een kwadratische functie in de variabele p.
De minimumwaarde treedt op voor p = 1 en dan is AB gelijk aan 1¹/₂.

MBL
27-11-2010