WisFaq!

Kegelsneden en krommen: ellips

Op een ellips E met brandpunten F,F' en met middelpunt O neemt men een punt D. Bewijs dat de volgende rechten concurrent zijn: de raaklijn t in D aan E, de loodlijn uit F op t, de evenwijdige door O met DF'.

Er wordt niet gezegd waar men het punt D moet kiezen, enkel dat het op E moet liggen (wat logisch is).
Maar ik deed een simulatie met de volgende gegevens:
E - 0,11x² + 0,25y² = 1
brandpunten:
F' -3,0
F 3,0
Q 0,2
Q' 0,-2
en nam D op (1.94,1.53) willekeurig op de ellips dus.
Maar als je het bewijs moet kloppen moet volgens mij D op Q of Q' liggen. Dan klopt deze opgave toch niet (wat ik sterk betwijfel)?
Concurrent is toch dat drie of meer lijnen snijden in eenzelfde punt?

Ik had graag deze vraag verduidelijkt met mijn getekende tekeningen op pc maar ik kan deze hier niet invoegen.
Misschien kan ik deze doorsturen?

Tim B.
17-11-2010

Antwoord

Hallo

Voor de vergelijking die je opgeeft geldt:
F'(-Ö5,0) en F(Ö5,0)
(-3,0) en (3,0) zijn trouwens de coördinaten van de toppen op de x-as.

Ga voor het algemene bewijs uit van de vergelijking

^x2/_a² + ^y2/_b² = 1

en stel D(x₀,^b/_aÖ(a²-x₀²)
en F'(-Ö(a²-b²),0) en F(Ö(a²-b²),0)

Je hebt nu voldoende informatie om de vergelijkingen van de 3 rechten op te stellen.
Schrijf deze 3 vergelijkingen in matrixvorm en toon aan dat de determinant hiervan gelijk is aan 0, dus de drie rechten zijn inderdaad concurrent.

LL
17-11-2010