WisFaq!

Partieel differentiëren en de kettingregel

Beste wisfaq,

Zij u de functie u=u(r,x). De functie v is gedefinieerd als v(r,x):=u((R^2)/r,x). Ik wil aantonen dat als de Laplaciaan van u gelijk is aan 0 voor ..dan is de Laplaciaan van v gelijk aan 0 voor...

De Laplaciaan in poolcoordinaten is gelijk aan
u_rr+(1/r)u_r+(1/r^2)u_xx


v_r=(-R^2/r^2)u_r
v_rr=[(2R^2)/r^3]u_r-(R^2/r^2)u_rr

en v_xx=u_xx,

dus we hebben nu

Laplaciaan van v=-(R^2/r^2)u_rr+[(R^2)/r^3]u_r+(1/r^2)u_xx

Maar hoe ga ik nu verder? Volgens mij klopt het niet helemaal want de bovenstaande uidrukking kan niet gelijk aan nul zijn als je kijkt naar de Laplaciaan van u.

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
15-11-2010

Antwoord

1. je v_rr klopt niet het moet [(2R^2)/r^3]u_r+(R^4/r^4)u_rr zijn (bij het differentieren van u_r komt er een factor -R^2/r^2 bij.
2. Als je nu in de Laplaciaan van v de factor R^4/r^4 buiten haakjes haalt krijg binnen de haakjes de Laplaciaan van u, met overal R^2/r voor r ingevuld.

kphart
19-11-2010