WisFaq!

Veeltermen

Hallo,
Ik heb een meningsverschil met mijn docent, zie onderstaande vraag en antwoord.
Gegeven zijn de veeltermen f(x) = x⁸ - 1 ϵ ℚ[x] en g(x) = x⁶ - 1 ϵ ℚ[x]. Onderzoek of er veeltermen p(x) , q(x) ϵ ℚ[x] bestaan, zodat x³ + 2x² - x -2 = p(x) . f(x) + q(x). g(x)

Mijn idee was: Als ik kan aantonen dat f(x), g(x) en x³ + 2x² - x -2 een veelvoud zijn van één en dezelfde veelterm, dan zijn er altijd een p(x) en een q(x) waarvoor ik de gegeven vergelijking kloppend kan maken.
Via de algoritme van Euclides (en het delingsalgoritme) heb ik de ggd(x³ + 2x² - x -2, f(x) ) bepaald na monisch te heebn gemaakt(x²-1). Ook heb ik de ggd(x³ + 2x² - x -2, g(x)) bepaald en die is ook x²-1.
Conclusie alle drie zijn een veelvoud van x²-1 en dus zijn er ook p(x) en q(x) te vinden waarvoor de gegeven vergelijking klopt.

Mijn docent keurt het helemaal fout, omdat ik eerst de ggd van f(x) en g(x) moet bepalen en dan gaan kijken of dit ook een deler is van x³ + 2x² - x -2.

Help me !

Ik denk dat mijn oplossing namelijk ook juist is.

MVG

Roy

Roy Cox
6-11-2010

Antwoord

Jammer, maar je eigen strategie werkt niet: 1 is altijd een gemeenschappelijke deler en dat zegt verder niets dat `dus' is misplaatst.
Het algoritme van Euclides produceert polynomen a en b zo dat ggd(f,g)=af+bg; als x³+2x²-x-2 gelijk is aan c-maal-ggd(f,g) dan kun je de gezochte p en q in a, b en c uitdrukken.

kphart
7-11-2010