WisFaq!

Schuine asymptoot berekenen

Hallo,
Ik moet de schuine asymptoot van de functie (x³-2x²-6)/(x²-3) berekenen. Ik weet hoe dit in theorie moet en heb a gevonden, nl 1, maar ik zit vast bij de berekening van b.
a = lim(x -oo) (x³-2x²-6)/(x²-3) / x = 1
b = lim(x -oo) (x³-2x²-6)/(x²-3) - 1·x
volgens mijn uitkomst moet b = 2, maar ik weet niet goed hoe ze hieraan komen?
Alvast bedankt

L
5-11-2010

Antwoord

Ik heb de teller maar 's van haakjes voorzien! Hopelijk is dat wat je bedoelt. De tweede limiet gaat zo:

$
\eqalign{
& \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{x^3 - 2x^2 - 6}}
{{x^2 - 3}} - x = \cr
& \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{x^3 - 2x^2 - 6}}
{{x^2 - 3}} - x \cdot \frac{{x^2 - 3}}
{{x^2 - 3}} = \cr
& \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{x^3 - 2x^2 - 6}}
{{x^2 - 3}} - \frac{{x^3 - 3x}}
{{x^2 - 3}} = \cr
& \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{x^3 - 2x^2 - 6 - x^3 + 3x}}
{{x^2 - 3}} = \cr
& \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2x^2 + 3x - 6}}
{{x^2 - 3}} = \cr
& \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{ - 2x^2 }}
{{x^2 }} + \frac{{3x}}
{{x^2 }} - \frac{6}
{{x^2 }}}}
{{\frac{{x^2 }}
{{x^2 }} - \frac{3}
{{x^2 }}}} = \frac{{ - 2}}
{1} = - 2 \cr}
$

Dus de schuine asymptoot is y=x-2, dus b=-2.

Ik zou 't (in dit geval) zo doen:

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{{x^3 - 2x^2 - 6}}
{{x^2 - 3}} \cr
& x^2 - 3/x^3 - 2x^2 - 6\backslash x - 2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x^3 - 3x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2x^2 + 3x - 6 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2x^2 + 6 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3x - 12 \cr
& Dus: \cr
& f(x) = x - 2 + \frac{{3x - 12}}
{{x^2 - 3}} \cr
& Als\,\,x \to \infty \,\,dan... \cr}
$

Dat kan ook...

WvR
5-11-2010