WisFaq!

Directe bewijzen

Hai!
Wil iemand voor mij kijken of mijn antwoorden juist zijn en of ze volledig zijn, misschien dat ik wat moet toevoegen.

1. Bewijs dat als x een oneven geheel getal is, dan is 9x+5 even.

Dit is mijn antwoord:
Neem aan dat x een oneven geheel getal is. Aangezien x oneven is kunnen we zeggen x=2k+1 voor een geheel getal k.
9x+5=9(2k)+5=18k+5=2(9k+2)+1 Aangezien 9k+2 een geheel getal is, is 9x+5 oneven.Dus is het niet waar want als x een oneven getal is (T) dan is 9x+5 een oneven getal en dat komt niet overeen met de bewering (F). Dus TF+=F dus de bewering is niet waar.

2.Bewijs dat als x een even geheel getal is, dan is 5x-3 een oneven geheel getal.

Dit is mijn antwoord:
Neem aan dat x een even geheel getal is.Aangezien x een even getal is kunnen we zeggen x=2k voor een geheel getal k.
5x-3=5(2k)-3=10k-3=2(5k-2)+1
Aangezien 5k-2 een geheel getal is, is 5x-3 een oneven geheel getal. Dus we hebben gesteld dat x een even geheel getal is (T) en daaruit volgt dat 5x-3 een oneven getal is (T). Dit komt overeen met de bewering. TT=T dus de bewering is juist.

3. Bewijs dat als a en c oneven gehele getallen zijn, dan is ab+bc even.

Dit is mijn antwoord:
Neem aan dat a en c oneven gehele getallen zijn. Dan kunnen we zeggen dat a=2k+1 voor een geheel getal k en c=2m+1 voor een geheel getal m.
ab+bc=(2k+1)b+b(2m+1)=2kb+b+2mb+b=2kb+2mb+2b=2(kb+mb+b)
We weten dat kb+mb+b een geheel getal is dus is ab+bc een even getal.Dus TT=T (((Er stond niet bij in de vraag dat b een geheel getal was, maakt dat veel uit, waarschijnlijk wel toch)))

4. Laat nÎZ. Bewijs dat als 1-n²groter dan 0 is , dan is 3n-2 een even geheel getal.

Dit is mijn antwoord:
Stel n=0 dan is 1-0 groter dan 0 (T) Vervolgens gaan we dan kijken of 3n-2 een even geheel getal is voor n=0. 3*0-2=-2 en -2 is een even geheel getal dus T. En aangezien TT=T is deze bewering dus juist.

5. Laat xÎZ. Bewijs dat als 2^2xeen oneven geheel getal is, dan is 4^xeen oneven geheel getal.

Dit is mijn antwoord:
Als eerste ga ik de bewering anders opschrijven. Namelijk:
Laat xÎZ. Bewijs dat als 2^2xeen oneven geheel getal is, dan is 2^2xeen oneven geheel getal. Wat ik hier nu zie is dan 2^2x hetzelfde is als 2^2xen dus al zou ik invullen voor x=2k=1 dan komt er inderdaad hetzelfde antwoord. Dus TT=T De bewering is juist.

6. Laat S={0,1,2} en laat nÎS. Bewijs dat als (n+1)²(n+2)²/4 even is , dan is (n+2)²(n+3)²/4 even.

Dit is mijn antwoord:
Laat nÎS X zodat (n+1)²(n+2)²/4 even is. n=0 (0+1)²(0+2)²/4=1 1 is een oneven getal dus daar ga ik niet mee verder. n=1 (1+1)²(1+2)²/4=9 9 is ook een oneven getal dus daar ga ik niet mee verder. n=2 (2+1)²(2+2)²/4=36 36 is een even getal dus hier ga ik mee verder werken. Dan moet ik bewijzen dat (n+2)²(n+3)²/4 een even getal is. dus ga ik n=2 invullen (2+2)²(2+3)²/4=100 en 100 is een even getal dus de bewering klopt aangezien TT=T.

Ik heb hier geen antwoorden van daarom vraag ik het even;)
Alvast bedankt!

Treintje
5-11-2010

Antwoord

Ik vind het een vreemd rijtje vraagstukken en vraag me af of het er nou om gaat heel precies iets te bewijzen of dat je alleen maar de (on)waarheid van iets wilt vaststellen.
Daar gaan we!
1) 9x+5 = 9(2k+1) + 5 = 18k + 14 = 2(9k + 7) en dús even.
Maar waarom niet gewoon als volgt? 'Oneven maal oneven' is oneven en 'oneven plus oneven' is weer even.

2) Oneven maal even is weer even en even min oneven is weer oneven.
Als het formeel moet: 5(2k) - 3 = 10k - 3 = (10k - 2) - 1 dus oneven.

3) ab + bc = b(a + c) = b en b maal een even getal is even.

4) Als 1 - n² 0 is, dan is n² 1 en dat is alleen maar waar als n = 0.
En als n = 0 , dan is 3n - 2 gelijk aan -2 en dat is een even geheel getal.

5) 2^2x = (2²)^x = 4^x.
Je praat dus over dezelfde getallen en dus gelden dezelfde eigenschappen.

6) Er zijn maar 3 waarden van n die gekozen mogen worden, namelijk n = 0 of n = 1 of n = 2.
Met de eerste twee waarden wordt de uitkomst van (n+1)²(n+2)²/4 oneven. Voor n = 2 komt er 36 uit, dús blijkbaar moet het over n = 2 gaan. En als je de tweede vorm uitrekent voor n = 2, dan zie je dat het klopt.Er komt namelijk 100 uit.

MBL
5-11-2010