WisFaq!

Trivialand Vacuous Proofs

Hai zou iemand voor mij willen kijken of ik dit correct noteer en als het uitgebreid genoeg is?

1. Laat x Î R zijn. Bewijs dat als x groter dan nul en x kleiner dan 1, dat x²-2x+2 ¹ 0 is.

Ik heb dit gedaan:
x²-2x+2=(x-1)²+1¹0
(x-1)² is altijd groter of gelijk aan nul en 1=1 dus (x-1)²+1 is groter of gelijk aan 1, dus x²-2x+2¹0 is waar. Dus dan is de als....dan ook waar. Aangezien F F = T de F staat voor False en T voor true.

2 nÎN. Bewijs dat als |n-1|+|n+1| kleiner of gelijk aan 1, dan |n²-1| kleiner gelijk aan 4.

Ik heb dit gedaan:
De |n-1| en |n+1| zitten tussen absolute strepen dus zal altijd groter of gelijk aan nul zijn. Stel n=2 dan |2-1|+|2+1|=4 dus |n-1|+|n+1| kleiner of gelijk is niet waar. dus F en dus hoef ik niet meer te kijken of |n²-1| kleiner gelijk aan 4 niet te bekijken want FF = T en FT=T dus het zal altijd true zijn.

3. rÎQ+ (ik weet ook niet zo goed waar die plus voor staat). Bewijs dat als (r²+1)¸r kleiner gelijk aan 1, dan (r²+2)¸r kleiner gelijk aan 2.

Ik heb dit gedaan:
Als eerste ga ik (r²+1)/r anders schrijven. (r²+1)/r=r+1/r kleiner gelijk aan 1. als x groter dan 0 en kleiner dan 1 dan is 1/r groter dan 1 en is r +(1/r)groter dan 1 dus (r²+1)/r kleiner gelijk aan 1 is niet waar. dus F. Dus hoef ik niet meer (r²+2)/r kleiner of gelijk aan 2 te bekijken want FF=T en FT=T dus het zal altijd waar zijn.

4. Laat x³-5x-1 groter gelijk aan 0, dan (x-1)(x-3) groter gelijk aan -2.

Ik heb gedaan:
Stel n=10 (10-1)(10-3)=63 dus (x-1)(x-3) is groter gelijk aan -2 klopt dus hoef ik niet meer te bekijken of x³-5x-1 groter gelijk aan 0. want TT=T FT=T dus het is altijd waar.

5. Laat nÎN. Bewijs dat als n+1/n kleiner dan 2, dan n²+(1/n²) kleiner dan 4.

Dit heb ik gedaan:
1/n is kleiner gelijk aan 1. n is groter gelijk aan 1 dus n+1/n is groter dan 1 dus n+1/n kleiner dan 2 is niet waar. Dus F en dus hoef ik niet meer te laten zien dat n²+1/n² kleiner dan 4 waar of niet waar is. Want FT=T en FF=T.

Alvast bedankt!

Treintje
4-11-2010

Antwoord

Een paar opmerkingen die je misschien verder helpen.

1) Wat je opschrijft klopt. x² - 2x + 2 = (x-1)² + 1 1 voor elke x.

2) Als n Î, dan is dus n = 1, n = 2, n = 3 enz. Maar dan zijn (n - 1) en (n + 1) beide niet-negatief zodat de modulusstrepen er voor niks omheen staan! In feite heb je het dus gewoon over (n - 1) + (n - 2) = 2n - 3 en uit 2n - 3 1 volgt direct n 2, zodat het alleen nog maar kan gaan over n = 1 of over n = 2. Voor deze 2 getallen is het getal |n² - 1| inderdaad kleiner dan 4.

3) Met ⁺ bedoelt men alle positieve breuken.
Als je de functie f(x) = (x² + 1)/x bestudeert, dan zul je zien dat voor elke positieve waarde van x er altijd minstens 2 uitkomt. De veronderstelling dat (r² + 1)/r 1 is, is dus onwaar, zoals je ook zelf opmerkt.

4) y = (x-1)(x-3) stelt grafisch een dalparabool voor met als laagste punt de top (2,-1). Dus (x-1)(x-3) -2 klopt altijd.

5) Kwadrateren van het veronderstelde geeft n² + 1/n² + 2 en omdat per veronderstelling de som van de eerste twee termen 2 is, is het totaal kleiner dan 4.
Overigens is n + 1/n nooit kleiner dan 1.

MBL
7-11-2010