WisFaq!

Opstapeling van exponenten

Een opgave die mij voorgelegd is:
Bereken de limiet lim{t - 0+} t^(t^a) als gegeven is a in .
Ik begrijp dat er gevalsonderscheiding moet worden gemaakt:
1) a 0: Hiervoor heb ik de oplossing gevonden door de macht als een e-macht te schrijven en te concluderen dat de limiet gelijk is aan e^0 = 1.
2) a = 0: Dan wordt het de limiet van t naar 0, dus 0.
3) a 0: Hier loop ik vast, ik kom tot e^(-oneindig) maar dit mag je niet gelijkstellen aan 0 omdat (oneindig) niet rekenkundig gebruikt mag worden. Ik zoek dus naar een manier om de limiet zó op te schrijven dat het een limiet van e^x wordt, van x naar min oneindig. Hier is vast wel een oplossing voor. Alvast bedankt!

Tycho
1-11-2010

Antwoord

Je kunt het op een paar manieren doen:
- door middel van substitutie: schrijf x=t^aln(t), dan komt je uit op lim_t-0⁺exp(t^aln(t)) = lim_x--oneindigexp(x)=0.
- afschatten: aangezien a0 geldt dat t^a1 voor 0t1, en dus geldt 0(t)^tat voor 0t1; pas nu de insluitstelling toe.

kphart
3-11-2010