Hoi!
Ik heb net geleerd hoe ik met matrices moet werken maar nu heb ik een vraag met onbekende a.
Opgave:
Laat zien dat het stelsel vergelijkingen voor iedere waarde van a oplosbaar is. Los het stelsel op voor die waarden van a waarvoor er meer dan een oplossing is. Geef in ieder van deze gevallen een meetkundige interpretatie van het stelsel vergelijkingen en zijn oplossingen.
ax1 + 2x2 + ax3 = 5a
x1 +2x2 +(2-a)x3 = 5
3x1 +(a+2)x2 +6x3=15
Nou dacht ik dan maak ik er een trapvorm van volgens de gaus-eliminatie.
a 2 a 5a
1 2 2-a 5
3 a+2 6 15
Dus ik dacht ik doe -1 keer de tweede vergelijking en tel vervolgens die bij de derde op. Dan krijg ik:
a 2 a 5a
1 2 2-a 5
0 a-4 3a 15
Nou zie ik verder geen uitweg om de trapvorm wat breder te krijgen dus bijv. bij de tweede vergelijking nog een nulletje te creeren omdat er bij die eerste vergelijking een a staat en bij de tweede een getal voor x1. Dus dan zit ik een beetje vast. Nu weet ik dat als ik hier naar kijk dat x1 en x2 hier pivots zijn en dus dat x3 een niet-pivots is. Ik weet ook dat ik niet-pivots een willekeurige variabele mag geven. Dus ik zeg x3=t en Dan weet ik: x2 + x3 = 15 dus x2 + t = 15 oftwel x2=15-t. Dan kijk ik naar de tweede vergelijking: x1 +2x2 +(2-a)x3=5 x1=5-2x2-(2-a)x3 oftwel x1=5-2(15-t)-(2-a)t x1=5-30+2t-2t+at=-25+at dus x1 = -25 + at Maar dan kom ik dus natuurlijk niet op getallen uit voor a. Dus ik weet niet precies hoe het moet. Waarschijnlijk doe ik het helemaal fout. De antwoorden moeten volgens mijn dictaat deze zijn: a=-2,0,1 Misschien kan iemand mij dit uitleggen?
Alvast bedankt!S
31-10-2010
Claire,
Omdat het schoonvegen wat lastig is omdat je a niet kent raad ik je het volgende aan. Bereken de determinant van de coëfficientenmatrix. Deze is gelijk aan a3+a2-2a=a(a+2)(a-1). Als de determinant ongelijk is aan nul, is er precies 1 oplossing. Als de determinant gekijk is aan nul, is er of geen oplossing of meerdere oplossingen. Deze gevallen moet je dus apart onderzoeken.
kn
31-10-2010
#63451 - Lineaire algebra - Student universiteit