WisFaq!

Vijfde graadsvergelijking

Dag Wisfaq-team,
Bepaal een veelterm A(x) zo dat gr A(x) = 5; A(x) deelbaar is door x³+9; de rest bij deling A(x) door x-1 gelijk is aan 30; A(0) = 18 en A(2) = 1.
Ik maakte eerst de deling van
Ax⁵+Bx⁴4+Cx³3+Dx²+Ex+F door x²+9 en kwam op een rest r(x)= (E-9C+81A)x +(F-9D+81B)=0 (opgaande deling)
Zo hebben we dan :
E-9C+81A=0 (1) en F-9D+81B=0 (2)
A(1)=30 Û: A+B+C+D+E+F=30 (3)
A(0)= 18 Û: F=18 (4)
A(2)=1 Û :32A+16B+8C+4D+2E+F=1 (5)
(1) E=9C-81A
(2) 9D-81B=18 en D= (18+81B)/9 od D= 2+9B want F=18
(1)in(3):
(3') A+B+C+2+9B +9C-81A+18=30
(1) en (2)in(5):
32A+B+C+8+4(18+81B)/9 +2(9C-81A)+18=1
32A+B+C+8+36B+18C-162A=-17
(a) -80A+10B+10C=10
(b) -130A+37B+19C=-25
(c) F=18
Hoe moet ik nu verder met de laatste 3 vergelijkingen ?? Of is er een "elegantere" oplossing voorhanden?
IK kom er niet of ontbreekt er iets?.
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
30-10-2010

Antwoord

Ga uit van A(x) = (x³+9)(ax²+bx+c)
Uit A(0) = 18 volgt c = 2
Uit A(2) = 1 volgt 2a + b + 1 = 1/34 (wat mij doet denken dat het antwoord 1 misschien anders moet zijn; het komt door die 1/34 erg slecht uit).
Het laatste gegeven houdt in dat A(x) = Q(x)(x-1) + 30 met Q(x) een polynoom van de vierde graad.
Vul hier x = 1 in en je krijgt A(1) = 30 ofwel a + b + 2 = 3
Hiermee zijn a en b te vinden.

In je eigen uitwerking heb je het overigens i.p.v. x³ + 9 over x² + 9
Dat maakt natuurlijk wel verschil voor de hierboven gegeven oplossing, maar de aanpak blijft het zelfde.

MBL
30-10-2010