WisFaq!

Parametervoorstelling en afstand

Hoi!
Ik heb net een vraag gemaakt maar ik krijg een ander antwoord dan het antwoord dat het zou moeten zijn. Zou u misschien willen kijken of het klopt of dat ik ergens een fout gemaakt heb?

Opgave: Bepaal een parametervoorstelling van de lijn die de rechten l en m loodrecht snijdt en bereken de afstand tussen l en m.
l:x=(3,2,5) + l(0,2,-1), m:x=(4,-3,-1) + m(3,-4,1)

Mijn uitwerking:
Vind P element van l en Q element van m zodat PQ minimaal is. Dit minimum heet afstand van l tot m. Oplossing: Kies P, Q zodat PQ loodrecht op l en m staat.

P:(3,2+2l,5-l), Q:(4+3m,-3-4m,-1+m)
PQ:(1+3m,-5-4m-2l,-6+m+l)
PQ staat loodrecht op l
0(1+3m)+2(-5-4m-2l)-1(-6+m+l)=0
Hieruit krijg ik: -4-9m-5l=0

PQ staat loodrecht op m:
3(1+3m)-4(-5-4m-2l)+1(-6+m+l)=0
Hieruit krijg ik:17+26m+9l=0

-4-9m-5l=0
17+26m+9l=0
Hieruit volgt: m=-1 en l=1
Vervolgens moet ik deze waardes in de P en Q invullen
P:(3,4,4) en Q:(1,1,-2)
Dus nu weten we de punten P en Q, en dus kunnen we nu de afstand tussen deze twee berekenen.
PQ=Ö(1-3)kwadraat+(1-4)kwadraat+(-2-4)kwadraat=7
dus de afstand is 7

Alvast bedankt!

S
28-10-2010

Antwoord

Hallo

Dit lijkt mij allemaal juist.
Als je enkel de (kortste) afstand tussen deze twee kruisende rechten wilt berekenen, kan het ook eenvoudiger.
Stel de vergelijking op van het vlak dat de rechte l bevat en evenwijdig is met de rechte m.
Dit is : 2x₁+3x₂+6x₃-42=0
Bepaal nu de afstand van een punt van m, d.i.(4,-3,-1) tot dit vlak:



En dit is de gevraagde afstand.

LL
28-10-2010