WisFaq!

Parallellogram in veelhoek

Goede avond,
Een meetkundig probleem.
Met gegeven getallenncoördinaten heb ik er geen probleem mee. Maar wel met de vraag hier onder...

Neem een willekeurige vierhoek ABCD en neem het midden van elke zijde. Verbind deze punten en toon vectorieël,
meetkundig en analytisch aan, dat de bekomen figuur een parallellogram is.
Graag ook een passende figuur als het kan...
Vriendelijke groeten,

Rik Lemmens
25-10-2010

Antwoord

Vectorieel gaat het snel en gemakkelijk:

De middens van de zijden hebben plaatsvectoren (resp) m₁=(a+b)/2, m₂=(b+c)/2, m₃=(c+d)/2) en m₄=(d+a)/2;
de vectoren van een midden naar een volgende midden zijn dus (resp) m₂-m₁=(c-a)/2, m₃-m₂=(d-b)/2, m₄-m₃=(a-c)/2, m₁-m₄=(b-d)/2.
Omdat hier de eerste en de derde vector elkaars tegengestelde zijn, en evenzo de tweede en de vierde, vormen de middens een parm.

Analytisch kan het op veel manieren. Begin met de punten coördinaten te geven.

Meetkundig:

1) Maak een tekening.
2) Beredeneer dat de lijnstukken M₁M₄ en M₂M₃ beide evenwijdig zijn aan BD en half zo lang als BD.
Dit gaat mbv gelijkvormige driehoeken CBD en CM₂M₃, etc. (Stelling van de middenparallel.)
3) Beredeneer dat de lijnstukken M₁M₂ en M₄M₃ beide evenwijdig zijn aan AC en half zo lang als AC.

hr
26-10-2010