WisFaq!

Een gelijkbenig driehoek en een cirkel

Bewijs dat, als één van de opstaande zijden van een gelijkbenige driehoek de middellijn is van een cirkel c, c de basis van de driehoek snijdt in het midden ervan.

Kazim Kapusuz
19-10-2010

Antwoord

Hallo, Kazim.

Teken een gelijkbenige driehoek PQR met basis PQ en opstaande zijden PR en QR, waarbij PR en QR even lang zijn.
De cirkel c met middellijn PR heeft als middelpunt het midden M van PR.
Stel dat c de basis PQ snijdt in N (en in P).
We moeten bewijzen dat PN en QN even lang zijn, ofwel PN half zo lang als PQ.
Welnu:
1) Omdat M even ver van P en N ligt, is de driehoek PNM gelijkbenig, net als de driehoek PQR.
2) De hoek bij P is voor beide driehoeken identiek, dwz met hetzelfde hoekpunt en dezelfde benen.
3) De twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn even groot.
4) Uit 1),2),3) volgt dat de hoeken PNM en PQR even groot zijn, namelijk beide even groot als de hoek bij P.
5) Uit 2) en 4) volgt dat de driehoeken PNM en PQR gelijkvormig zijn, omdat de corresponderende hoeken van beide driehoeken even groot zijn.
6) Uit 5) volgt dat de verhouding der lengten van PN en PQ gelijk is aan de verhouding der lengten van PM en PR, dus aan 1/2.

hr
19-10-2010