WisFaq!

Eigenwaarden van een lineaire operator

Beste wisfaq,

Zij T:H-H de volgende operator

T(x₁,x₂,x₃,...)=(x₂-x₁,x₃-x₂,x₄-x₃,...)

H=l₂(C), de vectorruimte van rijtjes (x₁,x₂,x₃,...), xi in C, met C de complexe getallen.

Ik wil aantonen dat k in C een eigenwaarde is van T d.e.s.d.a. |k+1|1.

De waarde k is een eigenwaarde als de vergelijking T(x)=k·x een oplossing x heeft die niet gelijk is aan de nulvector (notatie: x=(x₁,x₂,x₃,...)). Dus hier hebben we

(x₂-x₁,x₃-x₂,x₄-x₃,...)=(kx₁,kx₂,kx₃,...), dit geeft een stelsel van vergelijkingen en we vinden de volgende relatie

x_n=(k+1)x_n-1.

Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet. Wat kan ik uit deze relatie afleiden?

Groeten,

Viky

Viky
18-10-2010

Antwoord

Je kunt nu een vector maken die niet nul is en aan Tx=kx voldoet: stel x₁=1, dan x₂=(k+1)x₁=k+1, ..., x_n=(k+1)^n-1, ...

kphart
18-10-2010