WisFaq!

3 vergelijkingen met 4 onbekenden

Het gaat over 3 vergelijkingen met 4 onbekenden met een parameter c.
Gevraagd: vind de waarden voor c, waarmee het systeem consistent is. Gebruik Gauss-eliminatie.

Ik ben als volgt te werk gegaan:
2w + x + 4y +3z = 1 $\Rightarrow$ 2 1 4 3 1 $\Rightarrow$Rij 2 - 1/2.Rij1
w + 3x + 2y - z = 3c 1 3 2 -1 3c $\Rightarrow$Rij 3 - 1/2.Rij1
w + x + 2y + z= c² 1 1 2 1 c²

2 1 4 3 1 $\Rightarrow$ Rij1/2 = 1 ¹/₂ 2 3/2 ¹/₂
0 5/2 0 -5/2 3c-¹/₂ 0 5/2 0 -5/2 3c-¹/₂
0 ¹/₂ 0 -¹/₂ c²-¹/₂ $\Rightarrow$ Rij3.2 0 1 0 -1 2c²-1

Voor variabelen y en z gebruik ik andere letters (zogenaamde degree of freedom, bijv letters y=s en z=t)aangezien ik w(1) en x(1) makkelijk kan afleiden:
Uit vergelijking 3 volgt:
x = 2c²-1+t
Uit vergelijking 1 volgt:
w = ¹/₂ - 1/2x -2s -3/2t
w = ¹/₂ - 1/2(2c²-1+t) -2s -3/2t
w = 1 - c² -2t -2s
Uit vergelijking 2 volgt:
5/2(2c²-1+t) - 5/2t = 3c-¹/₂
5c²-5/2 +5/2t -5/2t = 3c-¹/₂
5² -5/2 = 3c -¹/₂
5c² -3c = 4/2
5c² - 3c - 2 = 0
c² -3/5c -2/5 =0
Somproductregel / abc formule levert c₁=1 en c₂=-2/5
x = 2c²-1+t geldt dus alleen voor oplossingen c₁ = 1 en c₂=-2/5. Klopt dit wat ik doe, het klinkt vrij logisch allemaal..

Student
14-10-2010

Antwoord

Hetgeen je doet is blijkbaar juist.
Zo'n probleem los je echter overzichtiger op met matrixrekenen, nl. door het omvormen van de coëfficiëntenmatrix tot de rijcanonieke matrix.
Ik kom op deze manier tot dezelfde oplossing.

LL
14-10-2010