WisFaq!

Formule van Cardano

Volgens Wikipedia is:



een oplossing van x³ +px+q =0.

Echter voor p= -13 en q= -12 is q²/4 + p³/27$<$0
Genoemde formule levert NIET de oplossingen (-3, -1 en 4)
Hoe kan dit?

Harm V
8-10-2010

Antwoord

't Is mogelijk een verrassing, maar soms krijg je 'onderweg' een negatief getal onder het wortelteken. Je zou denken dat je dan ook een complexe oplossing krijgt, maar dat is niet zo. In dit geval krijg je als je 'gewoon' stug doorrekend (met complexe getallen) toch de reële oplossing x=4.

Cardano zelf was het ook al opgevallen dat je soms de wortel moest trekken uit een negatief getal terwijl je toch een oplossing zou moeten krijgen.

Als je weet dat x=4 een oplossing is kan je met de factorstelling de andere twee oplossingen gemakkelijk vinden.

x-4/x3-13x-12\x2+4x+3
    x3-4x2
    -----
      4x2-13x-12
      4x2-16x
      -------
           3x-12
           3x-12
           -----
               0

x³ - 13x - 12 = (x - 4)(x² + 4x + 3) = (x - 4)(x + 1)(x + 3)
Oplossing zijn: x=4, x=-1 en x=-3

WvR
8-10-2010