WisFaq!

Injectie

beste

kan je a.d.h.v een functievoorschrift bepalen wanneer een functie injectief is (dus zonder te weten hoe de functie er uit ziet)? Of is er een andere manier?
bijvoorbeeld de functie (e^x-5)/(e^x+1)

alvast bedankt
kl.

cathal
29-9-2010

Antwoord

Ik zou de definitie gebruiken:voor alle x en y geldt: als f(x)=f(y) dan x=y.
Neem willekeurige x en y, neem aan dat f(x)=f(y) en noem die gemeenschappelijke waarde even z. Probeer nu x en y in z uit te drukken, als er maar een mogelijkheid is dan volgt x=y, hetgeen te bewijzen was; als je verschillende uitkomsten kan maken is het blijkbaar mogelijk dat x!=y.
Bij jouw voorbeeld probeer je f(x)=z op telossen naar x: eerst vind je e^x=(5+z)/(1-z) en dus x=ln((5+z)/(1-z)); dat is maar één mogelijkheid, dus y=x; conclusie: injectief.
Bij het standaardvoorbeeld f(x)=x² vind je als z=1 twee mogelijkheden: x=1 en y=-1; conclusie: niet injectief.

kphart
29-9-2010