WisFaq!

De norm van een operator

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende operator T:H-C gegeven door
T(x)=SOM[(x_n)/n], van n=1 tot oneindig.

C zijn de complexe getllen. H is de Hilbertruimte l₂(C) van rijtjes x=(x₁,x₂,...) met x_i een element in C, het inwendig product in H wordt gegeven door x,y=SOM[(x'_n)·(y_n)], van n=1 tot oneindig. Notatie: x'_n staat voor de geconjugeerde van x_n.

Ik wil graag de norm bepalen van de operator T m.b.v. de volgende definitie

||T||_H=sup ||T(x)||_C, waarbij de norm wordt genomen over alle x=(x₁,x₂,..) in H met ||x||_H=1.

Ik ben vastgelopen in de afschatting van ||T(x)||.
Ik ben eerst gaan kijken wat het betekent als ||x||=1. Er geldt dat

||x||²=x,x=SOM[(x'_n)·(x_n)], dus ik moet kijken naar alle x in H zodat SOM[|x_n|²]=1. Is dit correct?

Nu ga ik ||T(x)|| afschatten, x=(x₁,x₂,...), x_i in C:

||T(x)||_C=||SOM[(x_n)/n]=||x₁+¹/₂x₂+..||

Nu weet ik niet zeker hoe ik verder moet en hoe ik ||x|| kan gebruiken bij de afschatting. Ik denk dat ik x₁+¹/₂x₂+... moet schrijven als SOM[(a_k)/k]+i·SOM[(b_k)/k], waar dus (x_k)/k=(a_k)+i·(b_k). Dan krijg ik

||T(x)||=||SOM[(a_k)/k]+i·SOM[(b_k)/k]||.

Dit is een norm in C, er staat eigenlijk ||A+i·B||, met A=SOM[(a_k)/k] en B=SOM[(b_k)/k].

De norm in C van van een complex getal a+i·b is (a²+b²)^¹/₂. Dus in mijn geval krijg ik ||A+i·B||=(A²+B²)^¹/₂. Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet?

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
22-9-2010

Antwoord

Het lijkt mij dat T de functionaal is bepaald door het element (1,1/2,1/3,1/4,...) van H; in dat geval is de norm van T hetzelfde als de norm van dat die vector en die is p/wortel(6).

kphart
22-9-2010