WisFaq!

Onvolledigheidsstellingen van Gödel

Beste wiskundige,
Ik heb is nagedacht over de Onvolledigheidsstellingen van Gödel en ik kwam op het volgende vraagstuk: stel er bestaat een systeem met een oneindig aantal axioma's, is deze stelling dan nog steeds geldig?
bvd
Jelmer

Jelmer
13-9-2010

Antwoord

Beste Jelmer,

het antwoord is `ja', maar met een voorwaarde: het axiomastelsel moet recursief opsombaar zijn. Dat laatste wordt op de wikipediapagina niet vermeld maar het is essentieel voor het bewijs (op de Engelse staat het wel). Recursief opsombaar betekent dat er een soort formule bestaat waarmee is kunt uitmaken of iets een axioma is of niet.
Elke eindige lijst is recursief opsombaar: de formule is gewoon de lijst van de axioma's zelf. De verzamelingenleer heeft oneindig veel axioma's nodig maar je kunt een recursief opsombare lijst maken, dus de onvolledigheidsstelling geldt ook voor de verzamelingenleer.

Zie Wiipedia: onvolledigheidsstellingen [http://nl.wikipedia.org/wiki/Onvolledigheidsstellingen_van_Gödel#De_eerste_onvolledigheidsstelling]

kphart
14-9-2010